Patrulaterul generalizat

Un patrulater generalizat este o structură de incidență a cărei proprietate principală este absența triunghiurilor (cu toate acestea, structura conține multe patrulatere). Un patrulater generalizat este prin definiție un spațiu polar rang doi. Patraunghiurile generalizate sunt poligoane generalizate cu n = 4 și aproape 2n-goni cu n = 2. Sunt, de asemenea, exact geometrii parțiale pg( s , t ,α) cu α = 1.

Definiție

Un patrulater generalizat este o structură de incidență ( P , B , I), unde este o relație de incidență care satisface anumite axiome . Elementele lui P , prin definiție, sunt vârfuri (puncte) ale unui patrulater generalizat, elementele lui B sunt drepte . Axiomele sunt: $\mathrm {I} \subseteq P\times B$

Există un număr s ( s ≥ 1) astfel încât există exact s + 1 puncte pe orice dreaptă. Există cel mult un punct pe două linii distincte.
Există un număr t ( t ≥ 1) astfel încât exact t + 1 drepte trec prin orice punct . Există cel mult o linie prin două puncte diferite.
Pentru orice punct p care nu se află pe dreapta L , există o dreaptă M și un punct unic q astfel încât p se află pe M și q se află pe M și L.

O pereche de numere ( s , t ) sunt parametrii patrulaterului generalizat. Opțiunile pot fi infinite. Dacă fie numărul s, fie t este egal cu unu, patrulaterul generalizat se numește trivial . De exemplu, o rețea 3x3 cu P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} și B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} este un patrulater generalizat trivial cu s = 2 și t = 1. Un patrulater generalizat cu parametri ( s , t ) este adesea notat ca GQ( s , t ) (din limba engleză G eneralized Q uadrangle).

Cel mai mic patrulater generalizat non-trivial este GQ(2,2) , a cărui reprezentare Stan Payne a numit-o „șervețelul” în 1973.

Proprietăți

$|P|=(st+1)(s+1)$
$|B|=(st+1)(t+1)$
$(s+t)|st(s+1)(t+1)$
$s\neq 1\Longrightarrow t\leq s^{2)$
$t\neq 1\Longrightarrow s\leq t^{2)$

Earls

Există două grafice interesante care pot fi obținute dintr-un patrulater generalizat.

Un grafic coliniar care conține toate punctele unui patrulater generalizat ca vârfuri, în care punctele coliniare sunt conectate printr-o muchie. Acest grafic este un grafic puternic regulat cu parametrii ((s+1)(st+1), s(t+1), s-1, t+1), unde (s,t) este ordinul patrulaterului.
Un grafic de incidență ale cărui vârfuri sunt toate punctele și liniile unui patrulater generalizat și două vârfuri sunt adiacente dacă un vârf corespunde unei linii și celălalt unui punct de pe acea dreaptă. Graficul de incidență al unui patrulater generalizat este conex și este un grafic bipartit cu diametrul patru și circumferința opt. Astfel, un patrulater generalizat este un exemplu de celulă . Graficele de incidență ale configurațiilor sunt denumite în prezent grafice Levy , cu toate acestea, graficul Levy original a fost graficul de incidență al patrulaterului generalizat GQ(2,2).

Dualitate

Dacă ( P , B ,I) este un patrulater generalizat cu parametri ( s , t ), atunci ( B , P ,I −1 ) este și un patrulater generalizat (aici I −1 înseamnă relația de incidență inversă). Acest patrulater se numește patrulater generalizat dublu . Parametrii săi vor fi perechea ( t , s ). Chiar și pentru s = t , structura duală nu este neapărat izomorfă cu structura originală.

Patrulatere generalizate cu dimensiunea liniei 3

Există exact cinci patrulatere generalizate (degenerate permise) în care fiecare linie are trei puncte incidente

patrulater cu un set gol de linii
patrulater în care toate liniile trec printr-un punct fix, care corespunde morii de vânt Wd(3,n)
Grila 3x3
patrulater W(2)
patrulater generalizat GQ(2,4)

Aceste cinci patrulatere corespund celor cinci sisteme radiculare din clasele ADE A n , D n , E 6 , E 7 si E 8 , i.e. sisteme rădăcină cu un singur fir (aceasta înseamnă că elementele din diagramele Dynkin nu au mai multe legături) [1] [2] .

Patrulatere generalizate clasice

Dacă luăm în considerare diferite tipuri de spații polare de rangul cel puțin trei și le extrapolăm la rangul 2, putem găsi aceste patrulatere generalizate (finite):

Suprafața hiperbolică de ordinul doi (cvadrică) , cvadrica parabolică și cvadrica eliptică sunt singurele cvadrice posibile în spații proiective peste câmpuri finite cu indice proiectiv 1. Parametrii acestor cvadrici sunt: $Q^{+}(3,q)$ $Q(4,q)$ $Q^{-}(5,q)$

Q(3,q):\s=q,t=1

(este doar o grilă)

Q(4,q):\s=q,t=q

Q(5,q):\s=q,t=q^{2)

O varietate Hermitiană are indice proiectiv 1 dacă și numai dacă n este 3 sau 4. Avem: $H(n,q^{2})$

H(3,q^{2}):\s=q^{2},t=q

H(4,q^{2}):\s=q^{2},t=q^{3)

Polaritatea simplectică în are un subspațiu izotrop maxim de dimensiunea 1 dacă și numai dacă . Aici avem un patrulater generalizat , cu parametri . $PG(2d+1,q)$ $d=1$ $W(3,q)$ $s=q,t=q$

Patraunghiul generalizat derivat din este întotdeauna izomorf cu structura duală la , ambele structuri sunt auto-duale și, prin urmare, sunt izomorfe între ele dacă și numai dacă este par. $Q(4,q)$ $W(3,q)$ $q$

Exemple non-clasice

Fie O un hiperoval în cu q egal cu o putere pară a unui număr prim și o încorporare a acestui plan proiectiv (desarguesian) în . Acum luați în considerare structura de incidență , în care toate punctele sunt puncte pe care nu se află . Liniile acestei structuri sunt puncte care nu se află și nu se intersectează în punctul O , iar incidența este definită într-un mod natural. Acesta este un patrulater generalizat (q-1,q+1) . $PG(2,q)$ $\pi$ $PG(3,q)$ $T_{2}^{*}(O)$ $\pi$ $\pi$ $\pi$
Fie q o putere a unui număr prim (par sau impar). Luați în considerare polaritatea simplectică în . Alegem un punct aleator p și determinăm . Fie dreptele structurii noastre de incidență toate liniile absolute [3] care nu se află în , împreună cu toate liniile care trec prin punctul p , dar care nu se află pe , și punctele — toate punctele care nu se află pe . Relația de incidență va fi incidența naturală. Obținem din nou (q-1,q+1) - patrulater generalizat. $\theta$ $PG(3,q)$ $\pi =p^{\theta }$ $\pi$ $\pi$ $PG(3,q)$ $\pi$

Restricții de parametri

Pentru rețele și rețele duale, pentru orice număr întreg z , z ≥ 1, există patrulatere generalizate cu parametrii (1, z ) și ( z ,1). În afară de acest caz, numai următorii parametri sunt admisibili (aici q este o putere arbitrară a unui număr prim ):

(q,q)

(q,q^{2})

și

(q^{2},q)

(q^{2},q^{3})

și

(q^{3},q^{2})

(q-1,q+1)

și

(q+1,q-1)

Note

↑ Cameron, Goethals, Seidel, Shult, 1976 , p. 305-327.
↑ Brower .
↑ Să fie înzestrat spațiul cu polaritate (o mapare a punctelor la linii de ordinul doi cu păstrarea incidenței). În acest caz, punctul se poate afla pe imaginea sa (pe linie), dar acest lucru nu este necesar. Un punct este absolut dacă se află pe imaginea sa, iar o linie este absolută dacă trece prin imaginea (punctul) sa.

Literatură

Payne SE, Thas JA Patraunghiuri generalizate finite . - Boston, MA: Pitman (Advanced Publishing Program), 1984. - V. 110. - P. vi+312. — (Note de cercetare în matematică). - ISBN 0-273-08655-3 .
- Payne SE, Thas JA Patraunghiuri generalizate finite. - Societatea Europeană de Matematică, 2009. - (Seria EMS de Prelegeri în Matematică). - ISBN 978-3-03719-066-1 .

Cameron PJ, Goethals JM, Seidel JJ, Shult EE Grafice linie, sisteme radiculare și geometrie eliptică // Journal of Algebra. - Presa Academică, 1976. - V. 43 , nr. 1 .
Brouwer A.E. Algebră și geometrie . – Curs 2WF02 / 2WF05. (nedefinit)