Numărul Coxeter

Numărul Coxeter este o caracteristică a unui grup Coxeter finit ireductibil . În cazul în care grupul Coxeter este grupul Weyl al unei algebre Lie simple , atunci se vorbește despre numărul Coxeter al algebrei . $\mathfrak g$ $\mathfrak g$

Conceptul este numit după Harold Coxeter .

Definiție

Există mai multe definiții echivalente pentru acest număr.

Numărul Coxeter este egal cu numărul de rădăcini împărțit la rang. În mod echivalent, numărul Coxeter este de două ori numărul de reflexii din grupul Coxeter împărțit la rang. Dacă grupul este construit pe o algebră Lie simplă, atunci dimensiunea acestei algebre este n ( h + 1), unde n este rangul și h este numărul Coxeter.
Elementul Coxeter (uneori elementul Killing-Coxeter ) este produsul tuturor reflexiilor simple (a nu se confunda cu elementul grupului Coxeter de cea mai mare lungime). Numărul Coxeter este ordinea elementului Coxeter.
Dacă este expansiunea celei mai înalte rădăcini în rădăcini simple, atunci numărul Coxeter este . $\theta=\sum m_i \alpha_i$ $1+\sum m_i$
- În mod echivalent, dacă este un element astfel încât , atunci . $\rho^\vee$ $\langle\rho^\vee,\alpha_i\rangle=1$ $h=\langle\rho^\vee,\theta\rangle+1$
Numărul Coxeter este cea mai mare dintre puterile invarianților de bază ale grupului Coxeter.

Tabel de valori

Grupul Coxeter și simbolul Schläfli		Contele de Coxeter	Diagrama Dynkin	Numărul Coxeter $h$	Dual de Coxeter $h^\vee$	Gradele invarianților de bază
A n	[3,3...,3]	...	...	n + 1	n + 1	2, 3, 4, ..., n + 1
B n	[4,3...,3]	...	...	2n _	2n - 1	2, 4, 6, ..., 2n
C n	[4,3...,3]	...	...	2n _	n + 1	2, 4, 6, ..., 2n
D n	[3,3,..3 1,1 ]	...	...	2n − 2	2n − 2	n _ 2, 4, 6, ..., 2n − 2
E 6	[3 2,2,1 ]			12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E 7	[3 3,2,1 ]			optsprezece	optsprezece	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E 8	[3 4,2,1 ]			treizeci	treizeci	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4 _	[3,4,3]			12	9	2, 6, 8, 12
G2 _	[6]			6	patru	2, 6
H3 _	[5,3]		-	zece		2, 6, 10
H4 _	[5,3,3]		-	treizeci		2, 12, 20, 30
I 2 ( p )	[p]		-	p		2, p

Variații și generalizări

Număr Coxeter dublu

În cazul în care grupul Coxeter este grupul Weil al unei algebre Lie simple , se poate introduce numărul Coxeter dual (dual) . O astfel de noțiune pare să fi apărut pentru prima dată într-o lucrare din 1970 a lui Springer și Steinberg [1] și este frecvent întâlnită în teoria reprezentării . Puteți determina acest număr în oricare dintre următoarele moduri. $\mathfrak{g}$ $h^\vee$

Dacă este jumătatea sumei rădăcinilor pozitive și este rădăcina cea mai mare, atunci . $\rho$ $\theta$ $h^\vee=\langle \rho , \theta\rangle+1$
Dacă cea mai veche rădăcină scurtă este descompusă în rădăcini simple, atunci . $\theta_m=\sum m_i \alpha_i$ $h^\vee=\sum m_i+1$
Dublul numărului Coxeter dual este egal cu raportul a două forme biliniare simetrice invariante din algebra Lie : forma Killing și forma în care rădăcina cea mai înaltă are lungimea 2. $\mathfrak{g}$
Conform tabelului de mai sus.

Pentru algebrele Lie cu conexiuni simple, numărul Coxeter și numărul Coxeter dual sunt aceleași. Numărul Coxeter dual nu trebuie confundat cu numărul Coxeter al algebrei Lie duale.

Pentru o algebră Lie afină , valoarea nivelului egală cu se numește critică, iar pentru această valoare algebra învăluitoare universală are un centru mare. $\widehat{\mathfrak{g))$ $-h^\vee$

Note

↑ Ce rol joacă „numărul Coxeter dublu” în teoria Minciunii - Mathoverflow

Link -uri

N. Bourbaki, Elemente de matematică, Grupuri de Lie și algebre, Capitolele IV-VI, M.: Mir, 1972.
J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990.
Etingof, Pavel I.; Frenkel, Igor; Kirillov, Alexander A. (1998), Curs on Representation Theory and Knizhnik–Zamolodchikov Equations, Mathematical Surveys and Monografii 58, American Mathematical Society, ISBN 0821804960