Numărul Pontryagin

Definiție

Fie M o varietate închisă netedă cu 4 n -dimensionale și o partiție a numărului , adică o mulțime de numere naturale astfel încât . $\omega =\{k_{1},k_{2},\dots,k_{m))\)$ $n$ $k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n$

Numar rational

P_{\omega }=p_{k_{1}}\cup p_{k_{2}}\cup \cdots \cup p_{k_{m}}([M])

este numit numărul Pontryagin al varietatii M în raport cu partiția , aici sunt notate clasele Pontryagin . $\omega$ $p_{i}$

Deși numerele Pontryagin sunt definite formal pentru varietăți netede, prin teorema lui Novikov , ele sunt invarianți topologici .

teorema lui Pontryagin. Numerele Pontryagin a două varietati bordante (în sensul orientat) sunt egale. În plus
- Dacă toate numerele Pontryagin și Stiefel-Whitney ale două varietăți închise orientate coincid, atunci aceste varietăți sunt bordante (în sensul orientat).
Semnătura varietății este exprimată în termeni de numere Pontryagin, adică semnătura formei de intersecție pătratică definită pe , . $H^{n/2}(M)$ $n=dimM$
Indicele spinor ( -gen) al unei varietăți spinor închise , adică indicele operatorului Dirac pe , este exprimat în termeni de numere Pontryagin . ${\hat {A}}$ $M$ $M$