Hexagonul Lemoine

Hexagonul Lemoine [1] este un hexagon în jurul căruia poate fi circumscris un cerc. Vârfurile sale sunt cele șase puncte de intersecție ale laturilor unui triunghi cu trei drepte care sunt paralele cu laturile și care trec prin punctul său Lemoine . În orice triunghi, hexagonul Lemoine este în interiorul unui triunghi cu trei perechi de vârfuri situate în perechi de fiecare parte a triunghiului.

În geometrie , (primul) hexagon Lemoine este un hexagon în jurul căruia poate fi circumscris un cerc. Vârfurile sale sunt cele șase puncte de intersecție ale laturilor unui triunghi cu trei drepte care sunt paralele cu laturile și care trec prin punctul său Lemoine . În orice triunghi, hexagonul Lemoine este în interiorul unui triunghi cu trei perechi de vârfuri situate în perechi de fiecare parte a triunghiului. Există două definiții ale unui hexagon, care diferă în funcție de ordinea în care sunt conectate vârfurile.

Zona și perimetrul

Hexagonul Lemoine poate fi definit în două moduri, mai întâi ca un simplu hexagon cu vârfuri la punctele de intersecție, așa cum a fost definit anterior. A doua cale este un hexagon care se intersectează cu linii care trec prin punctul Lemoine ca trei muchii și alte trei muchii care conectează perechi de vârfuri adiacente. Pentru un hexagon simplu autodisjunct construit în interiorul unui triunghi cu lungimi și aria laturilor, perimetrul este dat de: $a,b,c$ $\Delta$

{\displaystyle p={\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2))))

iar zona este dată astfel:

S={\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c ^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta

Pentru un hexagon simplu cu auto-intersectare construit în interiorul unui triunghi, perimetrul este dat astfel:

p={\frac {\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{a^{2}+b^{2}+c^{2} }}

iar zona este dată astfel:

S={\frac {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2} }+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta

Cercul circumscris hexagonului Lemoine

În geometrie, cinci puncte definesc o conică, astfel încât seturile arbitrare de șase puncte nu se află, în general, pe o conică, cu atât mai puțin pe un cerc. Cu toate acestea, hexagonul Lemoine (fie cu ordinea conexiunii) este un hexagon înscris, ceea ce înseamnă că toate vârfurile sale se află pe același cerc. Cercul hexagonului Lemoine este cunoscut sub numele de „primul cerc al lui Lemoine” .

Al doilea hexagon al lui Lemoine

Al doilea hexagon Lemoine [2] este un hexagon în jurul căruia poate fi circumscris un cerc. Vârfurile sale sunt cele șase puncte de intersecție ale laturilor unui triunghi cu trei drepte care sunt antiparalele cu laturile și care trec prin punctul său Lemoine.

Note

↑ Zetel S.I. Noua geometrie a triunghiului. Un ghid pentru profesori. Ediţia a II-a .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 109-110, p. 95-96, teoreme, corolar.
↑ Zetel S.I. Noua geometrie a triunghiului. Un ghid pentru profesori. Ediţia a II-a .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - P. 111, p. 98, teorema.

Link -uri

Casey, John (1888), Cercurile lui Lemoine, Tucker și Taylor , o continuare a primelor șase cărți ale elementelor lui Euclid, care conține o introducere ușoară în geometria modernă cu numeroase exemple (ed. a 5-a), Dublin: Hodges, Figgis, & Co., p. 179ff , < https://books.google.com/books?id=i87Ikm2u_6sC&pg=PA179 > .
Lemoine, E. (1874), Sur quelques propriétés d'un point remarquable d'un triangle , Association francaise pour l'avancement des sciences, Congrès (002; 1873; Lyon) , p. 90–95 , < http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k201149r/f128.image > .
Mackay, JS (1895), Symmedians of a triangle and their concomitant circles , Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society vol. 14: 37–103 , DOI 10.1017/S0013091500031758 .

Link- uri externe

Weisstein, Eric W. Lemoine Hexagon (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .