Linii antiparalele

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 13 februarie 2022; verificările necesită 2 modificări .

Linii antiparalele - linii care formează unghiuri egale la intersecția a două drepte date (sau laturile unui unghi dat), dar din laturi opuse (Fig. 1).

Definiție

Liniile și se numesc antiparalele față de liniile și , dacă în Fig. 1. Dacă liniile și se intersectează la un punct , atunci și se mai numesc și antiparalele în raport cu unghiul . Dacă liniile și coincid, atunci ele se numesc antiparalele față de o singură linie (Fig. 2) [1] . $l_{1}$ $l_{2}$ $m_1$ $m_2$ $\angle 1=\angle 2$ $m_1$ $m_2$ $O$ $l_{1}$ $l_{2}$ $m_{1}\!Om_{2)$ $m_1$ $m_2$ $l_{1}$ $l_{2}$

Din definiție se poate observa că, spre deosebire de paralelism , antiparalelismul a două linii este un concept relativ. Nu are sens să spunem că „linii și anti-paralele” dacă nu se specifică în ce unghi sau care două linii sunt anti-paralele. Cu toate acestea, atunci când luăm în considerare triunghiuri, se spune adesea că o linie este „anti-paralelă cu o latură a triunghiului”, în timp ce implică că este anti-paralelă cu ea în raport cu celelalte două laturi . O astfel de dreaptă se mai numește și antiparalela unui triunghi [2] . $l_{1}$ $l_{2}$

Proprietăți

Dacă liniile și sunt antiparalele față de și , atunci ele sunt și antiparalele față de și . $l_{1}$ $l_{2}$ $m_1$ $m_2$ $m_1$ $m_2$ $l_{1}$ $l_{2}$
Două drepte sunt antiparalele față de un unghi dacă și numai dacă formează același unghi, dar în direcții opuse, cu bisectoarea acestui unghi (Fig. 3). $l_{1}$ $l_{2}$
Două linii drepte, antiparalele față de laturile unghiului, decupează pe ele segmente invers proporționale. În schimb, liniile cu această proprietate sunt antiparalele. Aceasta implică imediat (prin teorema secantei ) că

Punctele de intersecție a două perechi de drepte antiparalele se află pe același cerc. Și invers, pentru orice patrulater înscris într-un cerc, două laturi opuse sunt antiparalele față de celelalte două laturi (Fig. 4).

Toate antiparalele de la o parte a triunghiului sunt paralele între ele.
Dacă cercul care trece prin vârfuri și al triunghiului intersectează laturile și în punctele și respectiv, atunci linia este antiparalelă . Dacă raza cercului este mărită astfel încât să treacă și prin vârf , atunci secanta devine tangentă în punctul . Prin urmare, $B$ $C$ $ABC$ $AB$ $AC$ $D$ $F$ $DF$ $î.Hr$ $A$ $DF$ $A$

O tangentă la un cerc circumscris în jurul unui triunghi, desenată la unul dintre vârfurile acestuia, este antiparalelă cu latura opusă. De aceea
Raza cercului circumscris, trasă de la vârful triunghiului, este perpendiculară pe toate dreptele antiparalele laturii opuse.

Linia care leagă bazele celor două înălțimi ale unui triunghi este antiparalelă cu a treia latură (deoarece bazele înălțimilor se află pe cercul desenat pe acea parte ca diametru), deci laturile unui triunghi ortocentric sunt antiparalele cu laturile a triunghiului original.

Istorie

Aparent, termenul „antiparalel” a fost folosit pentru prima dată de Leibniz ( Acta Eruditorum , 1691, p.279), dar el i-a dat un alt sens. Definiția liniilor antiparalele în sensul modern este dată în cartea lui E. Stone „A New Mathematical Dictionary” (1743). [3] Vezi și [4] [5] .

Vezi și

Note

↑ A. B. Ivanov. Enciclopedia matematică : [în 5 volume] / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1977-1985.
↑ Efremov D. Noua geometrie a unui triunghi . - Odesa, 1902.
↑ F. Cajori. Istoria matematicii elementare / trad. din engleza. ed. I. Yu Timchenko. - Odesa, 1910. - S. 282.
↑ WJ James. Utilizarea cuvântului antiparalel // Natură. - 1889. - T. 41 , Nr. 1045 . - S. 10 .
↑ E. M. Langley. Despre utilizarea cuvântului antiparalel // Natură. - 1889. - T. 41 , Nr. 1049 . - S. 104-105 .

Literatură

Efremov D. Noua geometrie a triunghiului . - Odesa, 1902.
Zetel S.I. Noua geometrie a triunghiului. - M. , 1962.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Antiparallel (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .