Filtru eliptic

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 29 octombrie 2019; verificările necesită 4 modificări .

Filtrul eliptic ( filtru Cauer , sau filtru Zolotarev , sau filtru Zolotarev-Cauer ) este un filtru electronic , a cărui caracteristică este ondularea caracteristicii amplitudine-frecvență atât în banda de trecere, cât și în banda de suprimare . Mărimea pulsațiilor în fiecare dintre benzi este independentă una de cealaltă. O altă caracteristică distinctivă a unui astfel de filtru este o declinare foarte abruptă a caracteristicii de amplitudine, astfel încât cu acest filtru puteți obține o separare mai eficientă a frecvenței decât cu alte filtre liniare.

Dacă ondulațiile din banda de suprimare sunt egale cu zero, atunci filtrul eliptic devine un filtru Chebyshev de primul fel . Dacă ondulația este zero în banda de trecere, atunci filtrul devine un filtru Chebyshev de al doilea fel. Dacă nu există ondulații în întreaga caracteristică de amplitudine, atunci filtrul devine un filtru Butterworth .

Răspunsul în frecvență al unui filtru eliptic trece-jos este o funcție a frecvenței circulare ω și este dat de:

G_{n}(\omega )={1 \over {\sqrt {1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(\xi ,\omega /\omega _{0))))) }

unde R n este o funcţie eliptică raţională de ordinul n şi

\omega_0

- frecvența de tăiere

\epsilon

— factor de ondulație _

\xi

- factor de selectivitate _

Valoarea indicelui de ondulare determină ondulația din banda de trecere, în timp ce ondulația din banda de respingere depinde atât de indicele de ondulare, cât și de indicele de selectivitate.

Proprietăți

În banda de trecere, funcția eliptică schimbă valorile de la zero la unu. Răspunsul în frecvență în banda de trecere, prin urmare, variază de la unitate la . $1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}$

În banda de suprimare, funcția eliptică schimbă valorile de la infinit la valoarea , care este definită ca: $L_{n}$

L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )

Răspunsul în frecvență în banda de suprimare modifică astfel valorile de la zero la .

1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}L_{n}^{2))}

Cazul limită transformă funcția eliptică într- un polinom Chebyshev și astfel filtrul eliptic devine un filtru Chebyshev de primul fel cu exponent ondulat ε. $\xi \rightarrow \infty$
Deoarece filtrul Butterworth este un caz limitativ al filtrului Chebyshev, atunci în condițiile , și astfel filtrul eliptic devine un filtru Butterworth. $\xi \rightarrow \infty$ $\omega _{0}\rightarrow 0$ $\epsilon \rightarrow 0$ $\epsilon \,R_{n}(\xi ,1/\omega _{0})=1$
Cazul limitativ , și astfel transformă filtrul eliptic într- un filtru Chebyshev de al doilea fel cu răspuns în frecvență $\xi \rightarrow \infty$ $\epsilon \rightarrow 0$ $\omega _{0}\rightarrow 0$ $\xi \omega _{0}=1$ $\epsilon L_{n}=\alpha$

G(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {1+{\frac {1}{\alpha ^{2}T_{n}^{2}(1/\omega ))))) }}.

Poli și zerouri

Zerourile modulului de răspuns în frecvență coincid cu polii funcției eliptice fracționare-raționale.

Polii filtrului eliptic pot fi definiți în același mod ca și polii filtrului Chebyshev de primul fel. Pentru simplitate, vom lua frecvența de tăiere egală cu unitatea. Polii filtrului eliptic vor fi zerourile numitorului caracteristicii de amplitudine. Folosind frecventa complexa obtinem: $(\omega_{pm})$ $s=\sigma +j\omega ,$

1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(-js,\xi )=0

Fie , unde cd este funcția cosinus eliptică Jacobi . Apoi, folosind definiția unei funcții raționale eliptice fracționale, obținem: $-js={\mathrm {cd}}(w,1/\xi )$

1+\epsilon ^{2}\mathrm {cd} ^{2}\left({\frac {nwK_ {n)} {K)), {\frac {1}{L_{n)}} \dreapta)=0

unde si . Rezolvarea w $K=K(1/\xi )$ $K_{n}=K(1/L_{n})$

w={\frac {K}{nK_{n}}}{\mathrm {cd}}^{{-1}}\left({\frac {\pm j}{\epsilon }}),{\frac { 1}{L_{n}}}\dreapta)+{\frac {mK}{n}},

unde valorile funcției inverse cd sunt explicite prin utilizarea unui indice întreg m .

Polii elipticii funcționează în acest caz:

s_{pm}=i\,\mathrm {cd} (w,1/\xi).

Ca și în cazul polinoamelor Chebyshev, aceasta poate fi exprimată într-o formă complexă explicită [1]

s_{{pm}}={\frac {a+jb}{c}},

a=-\zeta _{n}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2))}{\sqrt {1-x_{m}^{2))}{\sqrt {1-x_ {m}^{2}/\xi ^{2}}},

b=x_{m}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}(1-1/\xi ^{2})}}),

c=1-\zeta _{n}^{2}+x_{i}^{2}\zeta _{n}^{2}/\xi ^{2},

unde este o funcție a și și sunt zerourile funcției eliptice. Funcția este definită pentru tot n în sensul funcției eliptice Jacobi. Pentru comenzile 1 si 2 avem $\zeta _{n}$ $n,\,\epsilon$ $\xi$ $x_{m}$ $\zeta _{n}$

\zeta _{1}={\frac {1}{{\sqrt {1+\epsilon ^{2))))},

\zeta _{2}={\frac {2}{(1+t){\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}+{\sqrt {(1-t)^{2}+\epsilon ^{2}(1+t)^{2}}}}}},

Unde

t={\frac {1}{{\sqrt {1-1/\xi ^{2))))}.

Proprietățile recursive ale funcțiilor eliptice pot fi utilizate pentru a construi expresii de ordin superior pentru : $\zeta _{n}$

\zeta _{{m\cdot n}}(\xi ,\epsilon )=\zeta _{m}\left(\xi ,{\sqrt ({\frac {1}{\zeta _{n}^{ 2}(L_{m},\epsilon )}}-1}}\dreapta),

Unde $L_{m}=R_{m}(\xi ,\xi ).$

Filtre eliptice cu factor Q minim

Vezi [2] Filtrele eliptice sunt de obicei definite prin specificarea unei anumite cantități de ondulare în banda de trecere, banda de respingere și panta răspunsului de amplitudine. Aceste caracteristici sunt decisive pentru stabilirea comenzii minime a filtrului. O altă abordare a proiectării unui filtru eliptic este de a determina sensibilitatea răspunsului de amplitudine a unui filtru analogic la valorile componentelor sale electronice. Această sensibilitate este invers proporțională cu exponentul special ( factor Q ) al polilor funcției de transfer a filtrului . Factorul de calitate al unui stâlp este definit ca:

Q=-{\frac {|s_{{pm}}|}{2{\mathrm {Re}}(s_{{pm}})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg (s_{{pm}})))}}

și este o măsură a influenței unui pol dat asupra caracteristicii generale de amplitudine. Pentru un filtru eliptic de ordin dat, există o relație între indicele de ondulare și factorul de selectivitate, care minimizează factorul de calitate al tuturor polilor funcției de transfer:

\epsilon _{{Qmin}}={\frac {1}{{\sqrt {L_{n}(\xi )))}}

Acest lucru duce la existența unui filtru care este cel mai puțin sensibil la modificările parametrilor componentelor filtrului, cu toate acestea, cu această metodă de proiectare, se pierde capacitatea de a atribui independent cantitatea de ondulare în banda de trecere și banda de suprimare. Pentru astfel de filtre, pe măsură ce ordinul crește, ondulația atât în banda de oprire, cât și în banda de trecere scade, iar panta caracteristicii în jurul frecvenței de tăiere crește. Atunci când se calculează un filtru cu un factor de calitate minim, trebuie să se țină cont de faptul că ordinea unui astfel de filtru va fi mai mare decât în cazul metodei obișnuite de calcul. Graficul modulului caracteristic de amplitudine va arăta aproape la fel ca înainte, cu toate acestea, polii nu vor fi amplasați într-o elipsă, ci într-un cerc și, spre deosebire de filtrul Butterworth , ai cărui poli sunt de asemenea aranjați într-un cerc, distanța dintre ele nu va fi aceeași, dar pe axa imaginară vor fi plasate zerouri.

Comparație cu alte filtre liniare

Mai jos sunt grafice ale caracteristicilor amplitudine-frecvență ale unora dintre cele mai comune filtre electronice liniare cu același număr de coeficienți:

După cum puteți vedea din grafic, filtrul eliptic are cea mai mare pantă, dar are și o ondulație semnificativă atât în banda de trecere, cât și în banda de oprire.

Vezi și

Bibliografie

V.A. Lucas. Teoria controlului automat. — M.: Nedra, 1990.
B.H. Krivitsky . Carte de referință despre fundamentele teoretice ale electronicii radio. - M .: Energie, 1977.
Miroslav D. Lutovac. Design de filtru pentru procesarea semnalului folosind MATLAB© și Mathematica©. - New Jersey, SUA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2 .
Richard W. Daniels. Metode de aproximare pentru proiectarea filtrului electronic. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6 .
Steven W. Smith. Ghidul omului de știință și al inginerului pentru procesarea semnalului digital . - A doua editie. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1 .
Britton C. Rorabaugh. Metode de aproximare pentru proiectarea filtrului electronic. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7 .
B. Widrow, SD Stearns. Procesare adaptivă a semnalului. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0 .
S. Haykin. Teoria filtrului adaptiv. - editia a 4-a. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1 .
Michael L. Honig, David G. Messerschmitt. Filtre adaptive - Structuri, algoritmi și aplicații . - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0 .
J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Predicția liniară a vorbirii. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1 .
L. R. Rabiner , R. W. Schafer. Procesarea digitală a semnalelor vocale. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1 .
Richard J. Higgins. Procesarea semnalului digital în VLSI. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X .
A. V. Oppenheim, R. W. Schafer. Procesarea semnalului digital . - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5 .
L. R. Rabiner , B. Gold. Teoria și aplicarea procesării semnalelor digitale. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4 .
John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis. Introducere în procesarea semnalelor digitale. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X .

Note

↑ Miroslav D. Lutovac. § 12.11, § 13.14 // Design de filtru pentru procesarea semnalului folosind MATLAB© și Mathematica©.