Funcția zero

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 7 mai 2021; verificările necesită 6 modificări .

Zerul unei funcții în matematică este un element din domeniul unei funcții , în care ia valoare zero. De exemplu, pentru o funcție dată de formulă $f$

f(x)=x^{2}-6x+9\,.

$x=3$ este zero pentru că

f(3)=3^{2}-6\cdot 3+9=0

Conceptul de zerouri ale unei funcții poate fi luat în considerare pentru orice funcții a căror gamă conține zero sau un element zero al structurii algebrice corespunzătoare .

Pentru o funcție a unei variabile reale, zerourile sunt valorile la care graficul funcției intersectează axa x . $f:\mathbb {R} \la \mathbb {R}$

Găsirea zerourilor unei funcții necesită adesea utilizarea unor metode numerice (de exemplu, metoda lui Newton , metodele gradientului ).

Una dintre problemele matematice nerezolvate este găsirea zerourilor funcției zeta Riemann .

Rădăcină polinomică

Teorema fundamentală a algebrei

Teorema fundamentală a algebrei afirmă că fiecare polinom de gradul n are n rădăcini complexe , dată fiind multiplicitatea acestora. Ecuația cubică, așa cum se arată mai sus, are întotdeauna trei rădăcini complexe, ținând cont de multiplicitate. Toate rădăcinile imaginare ale unui polinom, dacă există, sunt întotdeauna incluse în perechi conjugate numai dacă toți coeficienții polinomului sunt reali. Fiecare polinom de grad impar cu coeficienți reali are cel puțin o rădăcină reală. Legătura dintre rădăcinile unui polinom și coeficienții acestuia se stabilește prin teorema lui Vieta .

Analiză complexă

Un zero simplu al unei funcții holomorfe într-un anumit domeniu este un punct într-o vecinătate a cărui reprezentare este valabilă , unde este holomorf și nu dispare în acest punct . $G\subset \mathbb {C}$ $f$ $z_{0}\în G$ $f(z)=(z-z_{0})g(z)$ $g$ $z_{0}$

Ordinul zero al $k$ unei funcții holomorfe într-un anumit domeniu este un punct într-o vecinătate a cărui reprezentare este valabilă , unde este holomorfă și nu dispare în acest punct . $G\subset \mathbb {C}$ $f$ $z_{0}\în G$ $f(z)=(z-z_{0})^{k}g(z)$ $g$ $z_{0}$

Zerourile unei funcții holomorfe izolate .

Alte proprietăți specifice ale zerourilor funcțiilor complexe sunt exprimate în diferite teoreme:

Istorie

Ecuații cubice

Din punct de vedere istoric, conceptul de numere imaginare a fost dezvoltat prin rezolvarea ecuațiilor de gradul trei cu trei rădăcini reale diferite. Conform formulei Cardano, toate cele trei rădăcini ale ecuației sunt egale $X$ $x^{3}+kx+l=0$

$\left({\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{n}C+{\frac {-k}{3}}\left[\left ({\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{n}C\right]^{-1},$

unde (în locul plus sau minus, ambele semne se potrivesc, cu excepția cazului în care C merge la 0) și sunt toate rădăcini complexe posibile de gradul 3 de la 1 , și anume , $C^{3}={\tfrac {-l}{2}}\pm {\sqrt ({\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3} {27}}}}$ $n\in \{0,1,2\},$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}$ $unu$ ${\tfrac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}.$

Dacă numărul de sub rădăcina pătrată este mai mic decât zero și k și l sunt reale, atunci și sunt numere conjugate nereale, ceea ce înseamnă că atunci când sunt adăugate, se vor obține trei rădăcini reale diferite ale ecuației cubice. ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ ${\tfrac {-k}{3}}\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C\right)^{-1}$
Dacă este egală cu zero, atunci ecuația cubică are o rădăcină triplă sau două rădăcini diferite, dintre care una este dublă. ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$
Dacă mai mult de zero și k și l sunt reale, atunci unul dintre numere este real , cu toate acestea, ele nu mai sunt conjugate: au module diferite , - și, ca urmare, ecuația cubică are o singură rădăcină reală , iar alti doi nu . _ ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ ${\tfrac {-k}{3}}\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C\right)^{-1}$

$-108({\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}})$ - acesta este discriminantul ecuației , semnul căruia doar determină realitatea și multiplicitatea rădăcinilor. $x^{3}+kx+l=0,$

La prima vedere, paragrafele 1 și 3 prezintă cazuri paradoxale. Această ciudățenie a fost rezolvată și fundamentată de Rafael Bombelli și i-a permis să legalizeze pe deplin numerele imaginare, precum și numerele negative care nu au fost recunoscute în Europa înaintea lui.

Literatură

Funcția zero - articol din Marea Enciclopedie Sovietică .
Weisstein, Eric W. Root (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .