Entropia unui sistem dinamic

Entropia unui sistem dinamic este un număr care exprimă gradul de aleatorie a traiectoriilor unui sistem dinamic . Există entropia metrică , care descrie aleatoritatea dinamicii într-un sistem cu o măsură invariantă pentru o alegere aleatorie a condiției inițiale pentru această măsură, și entropia topologică , care descrie aleatoritatea dinamicii fără a presupune legea a alegerii punctului initial.

Principiul variațional pentru teoria sistemelor dinamice afirmă că pentru un sistem dinamic continuu pe o mulțime compactă, entropia topologică este egală cu cea mai mică limită superioară a celor metrice, luată peste toate opțiunile posibile ale măsurilor invariante ale sistemului.

Entropia topologică

Să fie dată o mapare continuă a unui set metric compact în sine. Apoi, metrica on este definită ca $T$ $(X,d)$ $d_{n}$ $X$

d_{n}(x,y)=\max _{0\leq j\leq n}d(T^{j}(x),T^{j}(y)),

cu alte cuvinte, aceasta este distanța maximă pe care orbitele o diverg în iterații. În plus, pentru o anumită mulțime, spunem că o mulțime este separată dacă distanțele perechi dintre punctele sale nu sunt mai mici decât , iar cardinalitatea celei mai mari astfel de mulțimi este notată cu . Apoi, entropia topologică a mapării este limita dublă $X$ $y$ $n$ $\varepsilon >0,$ $(n,\varepsilon )$ $d_{n}$ $\varepsilon$ $N(n,\varepsilon )$ $T$

h(T)=\lim _{\varepsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n))\log N(n,\varepsilon).

Aceeași valoare poate fi definită diferit: dacă notăm prin puterea celei mai mici rețele, atunci $M(n,\varepsilon )$ $\varepsilon$

h(T)=\lim _{\varepsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n))\log M(n,\varepsilon).

Echivalența acestor definiții este ușor de dedus din inegalități.Este de remarcat faptul că ambele definiții formalizează următorul concept non-strict: pentru un punct de plecare necunoscut, câtă informație trebuie obținută pe iterație pentru a prezice un număr mare de definiții. iterații cu o mică eroare fixă. $N(n,\varepsilon)\leq M(n,\varepsilon)\leq N(n,\varepsilon /2).$

Entropia metrică

Fie un sistem dinamic măsurabil care păstrează măsura. Prin definiție, entropia unei partiții este numărul $(X,T,\mu )$ $X=\bigcup _{j=1}^{n}\xi _{j)$

H(\xi):=\sum _{j=1}^{n}-\mu (\xi _{j})\log \mu (\xi _{j}),

care determină entropia informaţională a definiţiei unui element de partiţie care conţine un punct -aleatoriu. $\mu$

Rafinarea iterativă a partiției , $\xi$

\xi ^{(k)}=\left\{\xi _{i_{1}}\cap T^{-1}(\xi _{i_{2}})\cap \dots \cap T^{-k+1}(\xi _{i_{k}})\mid 1\leq i_{1},\dots ,i_{k}\leq n\right\}

determinați în ce elemente apare punctul în timpul iterațiilor și, în consecință, valoarea $\xi$ $k$

h_{\mu }(T,\xi )=\lim {\frac {1}{k}}H(\xi ^{(k)})

exprimă entropia informaţională a unui astfel de proces. În cele din urmă, entropia metrică a unei mapări în măsură este definită ca cea mai mică limită superioară peste toate partițiile posibile : $T$ $\mu$ $h_{\mu }(\xi )$ $\xi$

h_{\mu }(T):=\sup _{\xi }h_{\mu }(T,\xi).

Literatură

Katok A. B. , Hasselblat B. Introducere în teoria modernă a sistemelor dinamice / trad. din engleza. A. Kononenko cu participarea lui S. Ferleger. - M . : Factorial, 1999. - 768 p. — ISBN 5-88688-042-9 .