Forma hermitiana

Forma hermitiană este un analog natural al conceptului de formă biliniară simetrică pentru spații vectoriale complexe . Pentru formele hermitiene, analogii multor proprietăți ale formelor simetrice sunt adevărate: reducerea la formă canonică, conceptul de definiție pozitivă și criteriul lui Sylvester [1] .

Definiție

O formă hermitiană este o formă seschiliniară în doi vectori ai unui spațiu vectorial peste un câmp cu valori în acest câmp, care are proprietatea de simetrie [1] : $f(x,y)$ $V$ $\mathbb {C}$

f(x,y)={\overline {f(y,x)}}\\\forall x,y\in V.

Astfel, setul complet de condiții care definesc forma Hermitiană este următorul:

$f(x_{1}+x_{2},y)=f(x_{1},y)+f(x_{2},y)\\\forall x_{i},y\in V ,$
$f(\alpha x,y)=\alpha f(x,y)\\\forall x,y\in V,\\alpha \in \mathbb {C} .$
$f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2})\\\forall x,y_{i}\in V ,$
$f(x,\alpha y)={\overline {\alpha }}f(x,y)\\\forall x,y\in V,\\alpha \in \mathbb {C},$
$f(x,y)={\overline {f(y,x)}}\\\forall x,y\in V.$

Proprietăți

Din condiția simetriei hermitiene decurge imediat faptul că mărimea este reală . În acest caz, o funcție (cu valoare reală) pe un spațiu vectorial complex V se spune că este patratică-Hermitiană . Există, de asemenea, un fapt invers, care poate fi formulat ca un criteriu pentru ca o formă sesquilineară să fie hermitiană: $f(x,x)$ $\phi (x)=f(x,x)$

Teorema [1] . O formă sesquiliniară este hermitiană dacă și numai dacă funcția asociată ia doar valori reale. $f(x,y)$ $\phi(x)$

Dacă condiția suplimentară este îndeplinită

f(x,x)>0\ \ \ \forall x\neq 0

forma hermitiana f(x,y) si functia patratic-hermitiana se numesc definite pozitive . $\phi(x)$

Literatură

Gelfand I. M. Prelegeri despre algebra liniară, Moscova: Nauka, 1971.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linear Algebra and Geometry, Fizmatlit, Moscova, 2009.

Note

↑ 1 2 3 Shafarevici I. R., Remizov A. O. Algebră liniară și geometrie. - cap. VI, § 6.3. — M.: Fizmatlit, 2009.