Miezul lui Fejér

Nucleul Fejér este o funcție folosită pentru însumarea Cesàro a seriei Fourier sau a transformărilor Fourier , dată de formula:

\Phi _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x)

unde este miezul Dirichlet . În formă prescurtată [1] : $D_{k}(x)$

\Phi _{n}(x)={\frac {1}{2(n+1))}{\frac {\sin ^{2}{\frac {n+1}{2}} x}{\sin ^{2}{\frac {x}{2))))

Numit după matematicianul maghiar Lipot Fejer .

Dacă este o funcție integrabilă on și -periodică, atunci: $f(x)$ $[-\pi ,\pi ]$ $2\pi$

\forall x\in \mathbb {R} ~\forall n\in \mathbb {N} \;\;\sigma _{n}(f;x)=\int \limits _{-\pi } ^{\pi }f(xu)\Phi _{n}(u)du=\int \limits _{0}^{\pi }(f(xu)+f(x+u))\Phi _{ n}(u)du

Teorema lui Fejér : dacă este o funcție periodică continuă , sunt sumele parțiale ale seriei Fourier ale acestei funcții și este media aritmetică a acestor sume parțiale - (numită și suma de ordin Fejér ), atunci converge uniform către . $f(x)$ $2\pi$ $S_k(x)$ $\sigma _{n}(x)$ $\sigma _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{k=0}^{n}{S_{k}(x))$ $n$ $\sigma _{n}(x)$ $f(x)$

Dacă este o funcție pară periodică pozitivă , atunci sunt valabile următoarele afirmații: $\Phi _{n}(x)$ $2\pi$

$\forall n\in \mathbb {N} ~\int \limits _{-\pi }^{\pi }\Phi _{n}(u)du={\pi }$ ;
$\int \limits _{\delta}^{\pi }\Phi _{n}(u)du\rightarrow 0,\int \limits _{-\pi }^{-\delta}\Phi _ {n}(u)du\rightarrow 0,n\rightarrow \infty$ pentru orice fix . $\delta>0$

Nucleul Fejér pentru integrala Fourier [2] :

F_{n}(x)={\frac {2}{\pi n}}{\frac {\sin ^{2}{\frac {n}{2}}x}{x^{2 }}}

Proprietățile nucleului Fejér pentru integrala Fourier:

$F_{n}(x)\geqslant 0$ ;
$\int _{-\infty }^{\infty }F_{n}(x)dx=1$ ;
$\int _{|x|\geqslant \delta}F_{n}(x)dx\rightarrow 0$ pentru orice fix la . $\delta>0$ $n \rightarrow \infty$

Note

↑ Shilov, 1961 , p. 350.
↑ Shilov, 1961 , p. 361.

Literatură

Shilov G.E. Analiza matematică. Curs special. — M .: Nauka, 1961. — 436 p.
Metoda de însumare a lui Fejér - articol Enciclopedia Matematicii