Nucleul operatorului integral

Nucleul unui operator integral ( Fredholm kernel [1] ) este o funcție a două argumente , care definește un anumit operator integral prin egalitate $K(x,\;y)$ $\mathcal{A}$

\varphi (y)={\mathcal {A}}[\varphi (x)]=\int K(x,\;y)\varphi (x)\,d\mu (x),

unde este un spațiu cu măsură și aparține unui spațiu de funcții definit la . $x\in \mathbb {X}$ $d\mu(x)$ $\varphi(x)$ $\mathbb{X}$

Exemple

Un nucleu se numește -kernel dacă îndeplinește condiția: $K(x,\;y)$ $L_{2}$

\int \limits _{D}\int \limits _{D}|K(x,\;y)|^{2}\,dx\,dy<+\infty ,

unde este o funcție măsurabilă . $K(x,\;y)$ $D$

Astfel de nuclee sunt subiectul principal de luat în considerare în teoria ecuațiilor integrale .

Un nucleu care îndeplinește condiția:

K(x,\;y)\equiv 0

y>x

numit nucleul Volterra .

Un nucleu simetric este un nucleu pentru care deține identitatea . $K(x,\;y)=K(y,\;x)$
Dacă identitatea este valabilă , unde este complexul conjugat , atunci un astfel de nucleu se numește Hermitian . $K(x,\;y)={\overline {K(y,\;x)))$ ${\overline {K(y,\;x))}$ $K(x,\;y)$
Dacă nucleul admite o descompunere de forma: $K(x,\;y)$

K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{n}X_{k}(x)Y_{k}(y),

unde sunt două sisteme de funcții pătrate integrabile liniar independente ( -funcții), un astfel de nucleu se numește nucleu Pinkerle - Goursat sau nucleul PG . $\{X_{i}(x)\},\;\{Y_{i}(y)\)$ $(i=1,\;2,\;\ldots ,\;n)$ $L_{2}$

Definiții înrudite

Spectrul unui nucleu este setul valorilor sale proprii .

Teorema lui Mercer

Teorema de descompunere a nucleului a lui Mercer afirmă:

Dacă nucleul simetric este continuu și are numai valori proprii pozitive (sau cel mult un număr finit de valori proprii negative) , atunci următoarea reprezentare este valabilă: $L_{2}$ $K(x,\;y)$ $\lambda_k$

K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\varphi _{k}(x)\varphi _{k}(y)}{\ lambda _{k}}},

unde este un sistem ortogonal de -funcții. Seria converge absolut și uniform . $\{\varphi _{k}(x)\)$ $L_{2}$

Literatură

Trikomi F. Ecuații integrale. - M . : Editura de literatură străină, 1960. - 300 p.
Polyanin A. D., Manzhirov A. V. Manual de ecuații integrale. - M. : FIZMATLIT, 2003. - 608 p. — ISBN 5-9221-0288-5 . .
Polyanin A. D., Manzhirov A. V. Manual de ecuații integrale: soluții exacte. - M . : Factorial, 1998. - 432 p. — ISBN 5-88688-024-0 . .

Note

↑ Enciclopedia matematică / Ed. I. M. Vinogradova. - M. : Mir, 1985. - T. 5. - S. 660. - 1060 p.