4-accelerare

4-accelerația (patru-accelerare, patru-accelerare) în cinematica relativistă este un patru-vector care generalizează accelerația clasică și este definită ca derivată a 4-vitezei în raport cu timpul propriu al particulei:

{\mathbf {A}}={\frac {d{\mathbf {U}}}{d\tau }}=\left(\gamma _{u}{\dot \gamma }_{u}c,\ quad \gamma _{u}^{2}{\mathbf a}+\gamma _{u}{\dot \gamma }_{u}{\mathbf u}\right)=\left(\gamma _{u }^{4}{\frac {({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {u}})}{c}},\quad \gamma _{u}^{2}{\mathbf {a }}+\gamma _{u}^{4}{\frac {\left({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {u}}\right)}{c^{2}}}{\ mathbf{u}}\dreapta),

Unde

{\mathbf a}={d{\mathbf u} \over dt}

- 3-accelerare,

{\boldsymbol {\beta }}={\mathbf {u}}/c

— fără dimensiuni cu 3 viteze,

{\dot \gamma }_{u}={\frac {{\mathbf {a\cdot u}}}{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {{ \mathbf {a\cdot u}}}{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right )^{{3/2}}}}

și este factorul Lorentz pentru u cu 3 viteze . Punctul de deasupra variabilei înseamnă derivata în raport cu timpul de coordonate într-un cadru de referință dat și nu în raport cu timpul adecvat $\gamma _{u}$ $\tau .$

Într-un cadru de referință inerțial comobil instantaneu și adică într-un astfel de cadru de referință ${\mathbf u}=0,$ $\gamma _{u}=1$ ${\dot \gamma }_{u}=0,$

{\mathbf {A}}=\left(0,{\mathbf a}\right).

Geometric, accelerația 4 este vectorul de curbură al liniei lumii [1] [2] .

Astfel, modulul accelerației 4 (care este un scalar invariant) este egal cu accelerația intrinsecă , care este „resimțită” de o particulă care se mișcă de-a lungul liniei sale mondiale . Liniile lumii care au o accelerație constantă de 4 sunt cercuri Minkowski, adică hiperbole (vezi mișcarea hiperbolică ).

Chiar și la viteze relativiste, accelerația 4 este legată de forța 4 care acționează asupra particulei printr-o formulă care generalizează a doua lege clasică a lui Newton :

F^{\mu }=mA^{\mu };

aici m este masa particulei.

Produsul scalar al 4-vitezei și al 4-accelerației corespunzătoare este întotdeauna zero. Este ușor de observat acest lucru prin diferențierea identității în raport cu timpul propriu: Astfel, accelerația 4 și forța 4 co-direcționată cu ea, care acționează asupra unei particule, sunt întotdeauna ortogonale cu viteza ei 4 (și 4-momentum co-regizat cu 4-viteza ) - în contrast cu mecanica clasică. ${\mathbf {U}}\cdot {\mathbf {U}}\equiv c^{2}$ ${\frac {d}{d\tau }}({\mathbf {U}}\cdot {\mathbf {U}})=2{\frac {d{\mathbf {U}}}{d\tau } }\cdot {\mathbf {U}}=2{\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {U}}\equiv {\frac {d}{d\tau }}c^{2}=0.$ $p^{\mu }=mU^{\mu }$

În relativitatea generală , componentele accelerației cu patru vectori sunt legate de componentele cu patru viteze prin derivata covariantă în raport cu timpul propriu.

A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{{\mu \nu }}U^{\mu }U^{\nu }

( Γ λ μν sunt simboluri Christoffel ).

În relativitatea specială, coordonatele sunt de obicei exprimate într-un cadru de referință inerțial rectiliniu, astfel încât termenul cu simboluri Christoffel dispare, dar uneori, când autorii folosesc coordonate curbilinii pentru a descrie sistemul accelerat, cadrul de referință nu este inerțial, ci fizic. încă rămâne relativist special, deoarece metrica este pur și simplu transformarea de coordonate a metricii spațiale Minkowski . Într-un astfel de caz, trebuie folosită expresia de mai sus, deoarece aici simbolurile Christoffel nu sunt toate zero.

Când forța 4 este zero, numai gravitația acționează asupra particulei, iar versiunea cu patru vectori a celei de-a doua legi a lui Newton (vezi mai sus) se reduce la ecuația geodezică. O particulă care face mișcare geodezică are o valoare zero pentru fiecare componentă a 4-vectorului de accelerație. Acest lucru este în concordanță cu faptul că gravitația nu este o forță.

Vezi și

Note

↑ Pauli W. Teoria relativității . — 1981 Dover. - BG Teubner, Leipzig, 1921. - P. 74 . — ISBN 978-0-486-64152-2 .
^ Synge JL , Schild A. Tensor Calculus . — 1978 Dover. - University of Toronto Press , 1949. - P. 149, 153 și 170. - ISBN 0-486-63612-7 .

Literatură

Pauli W. Teoria relativităţii . — republicat în 1981 de Dover. - BG Teubner, Leipzig, 1921. - ISBN 978-0-486-64152-2 .
Papapetrou A. Prelegeri despre relativitatea generală . — Editura D. Reidel, 1974. - ISBN 90-277-0514-3 .
Rindler, Wolfgang. Introducere în relativitatea specială (a 2-a ) . - Oxford: Oxford University Press, 1991. - ISBN 0-19-853952-5 .
Synge JL, Schild A. Calcul tensor . — republicat în 1978 de Dover. - University of Toronto Press , 1949. - ISBN 0-486-63612-7 .