Derivat covariant

Derivata covariantă este o generalizare a conceptului de derivată pentru câmpurile tensorale pe varietăți . Noţiunea de derivată covariantă este strâns legată de noţiunea de conexiune afină .

Derivata covariantă a unui câmp tensor în direcția vectorului tangent este de obicei notă . $T$ ${{\mathbf v}}$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}T$

Motivație

Conceptul de derivată covariantă ne permite să definim diferențierea câmpurilor tensorale în direcția vectorului tangent al unei varietăți. Ca și derivata direcțională , derivata covariantă ia drept argumente: (1) un vector definit la un moment dat și (2) un câmp vectorial definit într-o vecinătate . Rezultatul este un vector , definit și în . Principala diferență față de derivata direcțională este că nu ar trebui să depindă de alegerea sistemului de coordonate . ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} ))$ $\mathbf {u}$ $P$ $\mathbf{v}$ $P$ $\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }\left(P\right)$ $P$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} ))$

Orice vector poate fi reprezentat ca un set de numere, care depinde de alegerea bazei . Un vector ca obiect geometric nu se schimbă atunci când se schimbă baza, în timp ce componentele reprezentării sale în coordonate se modifică în funcție de transformarea covariantă în funcție de transformarea bazei. Derivata covariantă trebuie să se supună aceleiași transformări covariante.

În cazul spațiului euclidian , derivata unui câmp vectorial este adesea definită ca limita diferenței dintre doi vectori definiți în două puncte apropiate. În acest caz, unul dintre vectori poate fi mutat la începutul celuilalt vector folosind translația paralelă și apoi scăzut. Astfel, cel mai simplu exemplu de derivată covariantă este diferențierea în funcție de componente într- un sistem de coordonate ortonormal .

În cazul general, este necesar să se țină cont de modificarea vectorilor de bază în timpul translației paralele . Exemplu: o derivată covariantă scrisă în coordonatele polare ale unui spațiu euclidian bidimensional conține termeni suplimentari care descriu „rotația” însuși a sistemului de coordonate în timpul translației paralele. În alte cazuri, formula derivată covariantă poate include termeni corespunzători compresiei, întinderii, torsii, intercalării și altor transformări la care este supus un sistem de coordonate curbiliniu arbitrar.

Ca exemplu, luați în considerare o curbă definită pe planul euclidian. În coordonatele polare, o curbă poate fi exprimată în termeni de unghi polar și rază . La un moment arbitrar în timp, vectorul rază poate fi reprezentat în termeni de pereche , unde și sunt vectori unitari tangenți la sistemul de coordonate polare, care formează o bază care servește la descompunerea vectorului în componente radiale și tangențiale. Când parametrul este modificat, apare o nouă bază, care nu este altceva decât vechea bază supusă rotației. Această transformare este exprimată ca derivată covariantă a vectorilor de bază, cunoscută și sub numele de simboluri Christoffel . $\gamma (t)$ $\gamma (t)=(r(t),\theta (t))$ $t$ $({\mathbf {e} }_{r}, {\mathbf {e} }_{\theta })$ ${\mathbf {e} }_{r)$ ${\mathbf {e} }_{\theta }$ $t$

În spațiul curbiliniu, care este, de exemplu, suprafața Pământului, translația paralelă neechivocă nu este definită . În schimb, se definește operația de translație paralelă a unui vector dintr-un punct în altul, care depinde de alegerea traiectoriei. Într-adevăr, imaginați-vă un vector definit într-un punct (care se află pe ecuator) și îndreptat către polul nord. Folosind translația paralelă, mutăm mai întâi vectorul de-a lungul ecuatorului fără a-i schimba direcția, apoi îl ridicăm de-a lungul unui meridian până la polul nord și îl coborâm înapoi la ecuator de-a lungul celuilalt meridian. Este evident că o astfel de deplasare a unui vector de-a lungul unui traseu închis pe o sferă își va schimba orientarea. Un fenomen similar este cauzat de curbura suprafeței globului și nu este observat în spațiul euclidian. Apare pe varietăți atunci când un vector se mișcă de-a lungul oricărui contur închis (chiar infinit mic), care include mișcarea de-a lungul a cel puțin două direcții diferite. În acest caz, limita incrementului infinitezimal al unui vector este o măsură a curburii varietății. ${\mathbf {e} }$ $Q$ ${\mathbf {e} }$

Note

Definiția unei derivate covariante nu folosește conceptul de metrică. Mai mult, pentru orice alegere a metricii spațiale, există o derivată covariantă unică fără torsiune , numită conexiunea Levi-Civita . Se determină din condiția: derivata covariantă a tensorului metric este egală cu zero.

Proprietățile derivatei implică faptul că aceasta depinde de o vecinătate arbitrar mică a unui punct , în același mod în care, de exemplu, derivata unei funcții scalare de-a lungul unei curbe într-un punct dat depinde de o vecinătate infinit de mică a acestui punct. $\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ $P$ $P$

Informațiile conținute în vecinătatea punctului pot fi utilizate pentru a determina translația paralelă a vectorului. În mod similar, conceptele de curbură , torsiune și geodezică pot fi introduse folosind numai conceptul de derivată covariantă și generalizările sale, cum ar fi conectivitatea traseului . $P$

Definiție formală

Funcții scalare

Pentru o funcție scalară, derivata covariantă este aceeași cu derivata obișnuită a funcției în raport cu direcția câmpului vectorial . $f$ ${\nabla }_{{{\mathbf {v}}}}f$ $\mathbf{v}$

Câmpuri vectoriale

Derivata covariantă a unui câmp vectorial în direcția câmpului vectorial , notată cu , este definită de următoarele proprietăți pentru orice vector , câmpuri vectoriale și funcții scalare și : $\nabla$ ${{\mathbf u}}$ ${{\mathbf v}}$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ $\mathbf{v}$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {w}$ $f$ $g$

$\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ liniară în raport cu , adică ${{\mathbf v}}$ $\nabla _{{f{{\mathbf v}}+g{{\mathbf w}}}}{{\mathbf u}}=f\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u }} ))+g\nabla _{{{\mathbf w}}}{{\mathbf u}}$
$\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ este aditiv în raport cu , adică ${{\mathbf u}}$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}({{\mathbf u}}+{{\mathbf w}})=\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}+ \nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf w}}$
$\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ respectă regula produsului , adică acolo unde este definită mai sus. $\nabla _{{{\mathbf v}}}f{{\mathbf u}}=f\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}+{{\mathbf u}}\ nabla _{{{\mathbf v}}}f$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}f$

Notă

Rețineți că la un punct depinde doar de valoarea punctului și de valorile din vecinătatea acestuia. În special, operatorul derivat covariant nu este un tensor (în ciuda faptului că valoarea sa pe fiecare câmp tensor este un tensor). $\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}$ $p$ $\mathbf{v}$ $p$ $\mathbf {u}$

Câmpuri covector

Având în vedere un câmp de covectori (adică, odată tensori covarianți, numiți și forme 1 ) , derivata sa covariantă poate fi definită folosind următoarea identitate, care este satisfăcută pentru toate câmpurile vectoriale : $\alfa$ $\nabla _{{{\mathbf v}}}\alpha$ $\mathbf {u}$

\nabla _{{{\mathbf v))}(\alpha ({{\mathbf u))))=(\nabla _{{{\mathbf v))}\alpha )({{\mathbf u)) )+\alpha (\nabla _{{{\mathbf v}}}{{\mathbf u}}).

Derivata covariantă a unui câmp covector de-a lungul unui câmp vectorial este, de asemenea, un câmp covector. $\mathbf{v}$

De asemenea, este posibil să se definească independent derivata covariantă a unui câmp covector, care nu este legată de derivata câmpurilor vectoriale. Apoi, în cazul general, derivatele scalarilor depind de originea lor și se vorbește de natura nemetrică a conexiunii afine asociate derivatei covariante date. Cu definiția dată mai sus, nonmetricitatea este egală cu zero.

Câmpuri tensoare

Odată ce derivata covariantă este definită pentru câmpurile vectoriale și covector, aceasta poate fi generalizată cu ușurință la câmpuri tensorale arbitrare folosind regula Leibniz ( și sunt tensori arbitrari): $\varphi$ ${\psi}$

\nabla _{{{\mathbf v))}(\varphi \otimes \psi )=(\nabla _{{{\mathbf v))}\varphi )\otimes \psi +\varphi \otimes (\nabla _ {{{\mathbf v}}}\psi ),

Dacă și sunt câmpuri tensorale din același pachet tensor, acestea pot fi adăugate: $\varphi$ $\psi$

\nabla _{{{\mathbf v))}(\varphi +\psi )=\nabla _{({\mathbf v))}\varphi +\nabla _{{{\mathbf v))}\psi .

Exprimarea în coordonate

Fie câmpul de tip tensor să fie dat de componentele sale într-un sistem local de coordonate , iar componentele sunt funcții diferențiabile . Atunci derivata covariantă a câmpului tensor este un tensor de tip , care este definit prin formula: $(p,q)$ ${T^{{i_{1}i_{2}\ldots i_{p))))_{{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}}({\mathbf {x}}) )$ $x^{k}$ $(p,q+1)$

$\nabla _{\ell }{T^{{i_{1}i_{2}\ldots i_{p))))_{{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}}={ \frac {\partial {T^{{i_{1}i_{2}\ldots i_{p))))_{{j_{1}j_{2}\ldots j_{q)))){\partial x^{\ell ))}+\sum _{{k=1}}^{p}{T^{{i_{1}\ldots k\ldots i_{p))))_{{j_{1 }j_{2}\ldots j_{q}}}\Gamma ^{{i_{k}}}{}_{{\ell k}}-\sum _{{m=1}}^{q}{ T^{{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}}}_{{j_{1}\ldots m\ldots j_{q}}}\Gamma ^{{m}}{}_ {{\ell j_{m))}$

unde sunt simbolurile Christoffel , care exprimă conectivitatea unei varietăți curbe. $\Gamma ^{{k}}{}_{{ij}}$

Exemple pentru unele tipuri de câmpuri tensorale

Derivata covariantă a unui câmp vectorial are un termen suplimentar în comparație cu derivata parțială, $V^{m}\$

\nabla _{\ell }V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{m}{}_{{k\ ell }}V^{k}.\

Derivata covariantă a unui câmp scalar este aceeași cu derivata parțială, $\varphi\$

\nabla _{i}\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i))}\

iar derivata covariantă a unui câmp covector este $\omega _{m}\$

\nabla _{\ell }\omega _{m}={\frac {\partial \omega _{m)){\partial x^{\ell ))}-\Gamma ^{k}{}_{{ \ell m}}\omega _{k}.\

Pentru o conexiune fără torsiune , simbolurile Christoffel sunt simetrice, iar derivatele covariante ale câmpului scalar comută:

\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi =\nabla _{j}\nabla _{i}\varphi \

În general, derivatele covariante ale tensoarelor nu comută (vezi tensorul de curbură ).

Derivata covariantă a unui câmp tensor de tip este $(2,0)$ $A^{{ik}}\$

\nabla _{\ell }A^{{ik}}={\frac {\partial A^{{ik}}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{i}{}_ {{m\ell }}A^{{mk}}+\Gamma ^{k}{}_{{m\ell }}A^{{im}},\

acesta este

A^{{ik}}{}_{{;\ell }}=A^{{ik}}{}_{{,\ell }}+A^{{mk}}\Gamma ^{i}{ }_{{m\ell }}+A^{{im}}\Gamma ^{k}{}_{{m\ell }}.\

Pentru un câmp tensor cu un indice superior, un indice inferior, derivata covariantă este

A^{i}{}_{{k;\ell }}=A^{i}{}_{{k,\ell }}+A^{{m}}{}_{k}\Gamma ^ {i}{}_{{m\ell }}-A^{i}{}_{m}\Gamma ^{m}{}_{{k\ell }},\

în cele din urmă, pentru un câmp tensor dublu covariant, adică un câmp de tip , $(0,2)$

A_{{ik;\ell }}=A_{{ik,\ell }}-A_{{mk}}\Gamma ^{m}{}_{{i\ell }}-A_{{im}}\ Gamma ^{m}{}_{{k\ell }}.\

Vezi și

Literatură

Rashevsky PK Riemann geometrie și analiză tensorială. - Orice ediție.

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare