4-vector

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 7 septembrie 2021; verificările necesită 7 modificări .

Un 4-vector ( patru-vector , patru -vector ) este un vector în spațiul Minkowski cu patru dimensiuni și, într-un caz mai general, un vector într-un spațiu-timp cu patru dimensiuni curbe. Componentele oricărui 4-vector care descrie un sistem fizic, la mutarea sau rotirea sistemului de referință , precum și la trecerea de la un sistem de referință la altul, sunt transformate conform aceleiași legi specificate de transformarea sistemului de referință. 4-vectorul are o componentă temporală și trei spațiale. Componentele spațiale alcătuiesc un vector spațial tridimensional obișnuit , ale cărui componente pot fi exprimate în coordonate carteziene, cilindrice, sferice și orice alte coordonate spațiale.

În notația modernă, componenta de timp corespunde de obicei indicelui 0 (adică este considerată componenta zero), componenta spațială - 1, 2, 3 (coincide cu x, y, z ; de obicei, implicit și dacă posibil, acestea sunt coordonate carteziene dreptunghiulare obișnuite ). În literatura veche, este adesea folosită o convenție (care datează de la Minkowski ) , conform căreia componenta timpului era considerată nu zero, ci a patra.
Uneori este convenabil să atribuiți un caracter pur imaginar componentei de timp a unui vector de 4 (înmulțiți întotdeauna componenta de timp real cu unitatea imaginară ). Această reprezentare a 4-vectori a fost din punct de vedere istoric prima care a fost introdusă și este uneori folosită și în literatura modernă.
4-vectori (reprezentarea lor componente) se pot scrie în forme contravariante și (sau) covariante (vezi mai jos), care nu coincid întotdeauna, iar în cazul unei reprezentări reale (fără o unitate imaginară) se deosebesc întotdeauna între ele , deși în majoritatea cazurilor această distincție este supusă unei reguli foarte simple.

Exemple de 4-vectori

Aici și mai jos se folosește semnătura . $(+,~-,~-,~-)$

4-mișcare: $dx^{i}=(cdt,~dx,~dy,~dz),$
4 viteze: $u^{i}={\frac {dx^{i}}{ds}}={\frac {1}{c}}{\frac {dx^{i}}{d\tau }} ,$ unde este „ timpul propriu ”, egal cu intervalul , împărțit la viteza luminii , măsurat de-a lungul liniei lumii . Din punct de vedere geometric, viteza cu 4 este vectorul unitar tangent la linia lumii a particulei. $\tau$ $\tau ={\frac {1}{c}}\int {ds}$
4-accelerare : $a^{i}={\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {1}{c}}{\frac {du^{i}}{d\tau }} ,$ unde - vezi mai sus. Din punct de vedere geometric, accelerația 4 este vectorul de curbură al liniei mondiale a particulei. $\tau$
vector de 4-energie-impuls ( cu patru impuls ): $p^{i}=\left({\frac {\varepsilon }{c)),~p_{x},~p_{y},~p_{z}\dreapta)$ . Pentru o particulă cu masă diferită de zero în absența câmpurilor externe . $p^{i}=c\,mu^{i}$
densitatea de curent cu patru dimensiuni ( 4-curent ): $j^{i}=(c\rho ,~j_{x},~j_{y},~j_{z});$
val 4-vector: $k_{i}=\left({\frac {\omega }{c)),-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right);$
Potențial electromagnetic : $A_{i}=(\varphi ,~{-A}_{x},~{-A}_{y},~{-A}_{z}).$

Proprietăți

Legea transformării în patru vectori:

{\tilde {A}}^{i}=\sum _{j}S_{j}^{i}\ A^{j},

unde - o matrice din grupul Lorentz - o matrice de tranziție la noi coordonate (la un nou cadru de referință). $S_{j}^{i}$

Produsele punctuale (în special, pătratele) de 4 vectori sunt calculate folosind metrica Lorentz (vezi și mai jos).
- Ele sunt invariante sub transformările Lorentz. Se numesc scalari (în sensul patrudimensional - spațiu-timp -).
- De exemplu, acesta este un interval (pătratul intervalului este pătratul vectorului deplasare în metrica Lorentz), masa (masa în repaus) - pătratul său este, până la un factor constant, pătratul 4-momentului : etc. $m^{2}=E^{2}/c^{4}-p^{2}/c^{2}$

Notație

În mod tradițional, un vector de 4 este notat ca un set de componente ale sale. Astfel, un vector de 4 este notat ca (nu confundați această notație cu exponențiația!) sau $A$ $a^{i}$ $a_{i}.$

Coordonatele, 3 spațiale și temporale, sunt de obicei notate ca $x^{i}.$

Ce înseamnă utilizarea indexului superior ( ) sau inferior ( ) în acest caz este specificat în mod specific, dar în mod implicit, dacă sunt utilizate ambele (sau cel puțin prima) opțiuni, adică dacă sunt folosite superscripte, coordonatele contravariante 4- vector, iar cele inferioare sunt coordonatele covariante . Astfel, în acest caz, același vector poate avea două reprezentări diferite - contravariantă și covariantă . $a^{i}$ $a_{i}$

În cazul spațiului plat și cadrelor de referință inerțiale , ca în electrodinamică , relativitate specială și, în general, în cazurile în care gravitația poate fi neglijată, reprezentările covariante și contravariante diferă doar în semnul timpului (sau invers, în funcție de semnătura acceptată convenţional - spaţiale) componente. În acest caz, produsul scalar poate fi reprezentat ca o simplă sumă a produselor componentelor corespunzătoare numai pentru produsul unui vector covariant cu unul contravariant, de exemplu:

(a,b)=a^{i}b_{i}\equiv \sum _{i}a^{i}b_{i}=a^{1}b_{1}+a^{2}b_{ 2}+a^{3}b_{3}+a^{4}b_{4}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}- a_{4}b_{4}

si in special

(a)^{2}=(a,a)=a^{i}a_{i}\equiv \sum _{i}a^{i}a_{i}=a^{1}a_{1} +a^{2}a_{2}+a^{3}a_{3}+a^{4}a_{4}=(a_{1})^{2}-(a_{2})^{ 2}-(a_{3})^{2}-(a_{4})^{2}

(Aici și mai jos, se folosește regula de însumare a indicelui Einstein care se repetă , iar pătratul este notat ca (…)²).

Dacă doresc să scrie un produs scalar folosind doar componente covariante sau numai contravariante, de obicei folosesc notația cu metrica Lorentz (sau ): $\eta _{{ij}}$ $\eta ^{{ij}}$

(a,b)=\eta _{{ij}}a^{i}b^{j}\equiv \sum _{{i,j}}\eta _{{ij}}a^{i}b ^{i}=a^{1}b^{1}-a^{2}b^{2}-a^{3}b^{3}-a^{4}b^{4}

(a,b)=\eta ^{{ij}}a_{i}b_{j}\equiv \sum _{{i,j}}\eta ^{{ij}}a_{i}b_{i} =a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}

(ambele metode sunt echivalente una cu cealaltă și cu metoda descrisă mai sus cu ambele tipuri de coordonate).

Cu toate acestea, într-un caz mai general al sistemelor de referință non-lorentziane, inclusiv atunci când gravitația este luată în considerare în conformitate cu relativitatea generală , în loc de o metrică lorentziană foarte simplă și constantă , trebuie să se ia în considerare o metrică arbitrară , inclusiv una care depinde de coordonatele spațiale și timpul (În toate formulele scrise în acest paragraf de mai sus, în cazul general este necesar să se înlocuiască cu , și cu ). În același timp, regula simplă că reprezentările covariante și contravariante ale unui 4-vector diferă doar prin semnul componentelor spațiale încetează să se aplice, acestea încep să fie exprimate una prin alta folosind și o metrică generală (vezi Tensorul metric# Izomorfismul dintre spațiul tangent și cotangent ): $\eta _{{ij}}$ $g_{ij}.$ $\eta _{{ij}}$ $g_{ij}$ $\eta ^{{ij}}$ $g^{ij}$ $g_{ij}$

a^{i}=g^{{ij}}a_{j}\equiv \sum _{j}g^{{ij}}a_{j},

a_{i}=g_{{ij}}a^{j}\equiv \sum _{j}g_{{ij}}a^{j}.

(După cum vedem, aceste formule au fost valabile și pentru dar în acel caz au fost reduse la o simplă regulă pentru schimbarea semnului unor componente, dar aici, în cazul general, nu mai sunt reduse). $\eta_{{ij}},$

De asemenea, rețineți că într-un spațiu-timp cu curbură (care este deja considerat corect doar o varietate , și nu un spațiu vectorial), setul de coordonate nu mai este un vector. Totuși, deplasările infinitezimale ale coordonatelor reprezintă un vector (vectorul spațiului tangent la varietatea în punctul ). $x^i$ $dx^{i}$ $x^i$

Și, în sfârșit, în cazul metricii lorentziane luate în considerare mai sus, se folosesc adesea doar indicele , deoarece componentele covariantă și contravariantă diferă doar prin semn și ne putem limita la a menționa doar una dintre ele (de obicei contravariante, deși folosind un indice). ). Această metodă pentru acest caz este relativ convenabilă, deoarece absența superscriptelor este oarecum mai familiară nespecialiștilor și, în plus, nu poate crea confuzie cu notația de exponențiere. Cu toate acestea, are și capcane, deoarece, de exemplu, vectorul cu 4 gradiente, scris în formă contravariantă, are în mod destul de neașteptat un semn minus pentru componentele spațiale: deoarece diferenţialul total trebuie să fie invariant, iar în formula produsului scalar, dacă ambii vectori sunt reprezentați în aceeași formă contravariantă, intră, după cum știm, o schimbare de semn datorată $(\partial _{0},-\partial _{1},-\partial _{2},-\partial _{3}),$ $df=\partial _{0}fdx^{0}+\partial _{1}fdx^{1}+\partial _{2}fdx^{2}+\partial _{3}fdx^{3}$ $\eta _{{ij}}.$

Interesant este că metoda care folosește doar subindice și o componentă de timp imaginară nu are aceste dezavantaje (în principal în zona de aplicabilitate limitată la cazul spațiului plat, dar nu numai). Cert este că atunci când se utilizează această metodă, semnele necesare sunt obținute automat (atenție: luând în considerare semnătura ; totuși, alegerea semnăturii este încă o chestiune de acord). Adică, nu trebuie să vă gândiți deloc la semne, nu trebuie să utilizați în mod explicit matricea tensorului metric, chiar și asta, metricul este reprezentat formal printr-o singură matrice („formal euclidiană”, care , desigur, nu își schimbă caracterul pseudo-euclidian real, ci simplifică scrierea) și reprezentarea tuturor celor 4 vectori simplu și uniform: $\eta_{{ij}},$

4-mutare $dx_{\mu }=(ic~dt,dx,dy,dz),$
4-impuls $p_{\mu}=(iE/c,p_{x},p_{y},p_{z}),$
densitatea de curent cu patru dimensiuni $j_{\mu}=(ic\rho,j_{x},j_{y},j_{z}),$
val 4-vector $k_{\mu}=(i\omega /c,k_{x},k_{y},k_{z}),$
potenţial electromagnetic $A_{\mu}=(i\phi,A_{x},A_{y},A_{z}),$

și așa mai departe, unde i este unitatea imaginară .

4-vector în matematică

Un punct din spațiul Minkowski se numește eveniment și este dat de patru coordonate:

{\mathbf {x}}:=\left(ct,x,y,z\right),

unde este viteza luminii , este momentul evenimentului și sunt coordonatele sale spațiale. Un astfel de vector cu 4 se numește vector cu 4 raze. $c$ $t$ $x,y,z$

Mulți alți 4 vectori pot fi construiți din ea și mai departe unul de celălalt prin adăugarea, scăderea, înmulțirea sau împărțirea cu un scalar, precum și diferențierea față de un scalar etc. Astfel, dintr-un vector cu 4 raze, prin diferențierea în raport cu timpul propriu , se obține o viteză de 4, etc.

Produșii scalari ai 4-vectori sunt mărimi Lorentz-invariante (invarianți ai grupului Lorentz), scalari ai spațiului Minkowski.

Istorie

4-vectorii au fost considerați mai întâi de Poincare ( 1905 ) și apoi de Minkowski . Ei au considerat componenta de timp a vectorului 4 ca fiind pur imaginară, ceea ce a generat automat regula necesară pentru calcularea produsului scalar în însumarea obișnuită a produselor componentelor. Termenul „4-vector” a fost propus de Arnold Sommerfeld în 1910 .

Literatură

Landau L. D. , Lifshits E. M. § 2. Interval. § 3. Timpul potrivit. § 6. Vectori patrudimensionali. § 7. Viteza patrudimensională. // Teoria câmpului. - ediția a VII-a, revizuită. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul II). — ISBN 5-02-014420-7 . .
Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Lecturi de fizică. Volumul 6: Electrodinamica. Traducere din engleză (vol. 3). — Editorial URSS. - ISBN 5-354-00704-6 . - cap. 25. „Electrodinamica în notație relativistă”. (Aceasta este o introducere simplă pentru studenți; pentru a evita confuziile, rețineți că în această carte sunt folosite doar indicele, dar se referă la componentele contravariante ale 4-vectori.)