Oscilator LC

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 august 2017; verificările necesită 2 modificări .

Un oscilator LC este un circuit electric format, în cel mai simplu caz, din capacitate , inductanță și rezistență neliniară conectate în paralel, a cărui caracteristică curent-tensiune are o conductivitate diferențială negativă în zona tensiunilor joase. Ecuația diferențială a circuitului are forma Dacă CVC a rezistenței neliniare este aproximată printr-un polinom redus de ordinul trei , atunci cu un coeficient negativ , egalitate pozitivă și numerică , ecuația (1) coincide cu ecuația Van der Pol . În cazul general, ecuația (1) nu are o soluție analitică. Este posibil să se obțină o soluție staționară în cuadraturi pentru cazuri particulare. Una dintre ele este aproximarea CVC a unei drepte care trece prin originea coordonatelor, cu o întrerupere într-un punct în așa fel încât conductivitatea diferențială să fie descrisă prin expresia [1] unde , și sunt constante pozitive. La , sistemul este instabil, iar la , și mici , apar oscilații staționare în sistem care sunt apropiate ca formă de cele armonice. Pe intervale separate ale perioadei de oscilație, soluția staționară a ecuației omogene (1) la are forma: unde , , , . Perioada de oscilație , momentul de timp care servește drept graniță a intervalelor pe care se consideră (1) și constantele de integrare se determină din soluția sistemului de ecuații [2] ; ; ; ; ; . Coeficienții soluției (1), obținuți numeric cu o eroare în ultima cifră la H, F, Cm, B și : ${g=di/du}$

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+{\frac {g(u)}{C}}{\frac {du}{dt}}+{\frac {1}{LC}}u=0,\quad (1)$

$i(u)=a_{1}u+a_{3}u^{3)$ $a_{1}$ $a_{3}$ $a_{1}=-a_{3)$ $U_{{0}}$

$g(u)=\left\{{\begin{matrix}kG,&u\geq U_{0};\\-G,&u<U_{0},\end{matrix}}\right.$

$k$ $G$ $U_{{0}}$ $k<1$ $k>1$ $G$ $kG<{\sqrt {C/L}}$

$u(t)=\left\{{\begin{matrix}u_{1}=(a_{1}\sin \omega _{1}t+a_{2}\cos \omega _{1} t)exp{(-\delta _{1}t)};\quad 0\leq t<t_{1};\\u_{2}=(a_{2}\sin \omega _{2}t+ a_ {2}\cos \omega _{2}t)exp(\delta _{2}\,t);\quad \,t_{1}<t\leq T,\end{matrix}}\right.$

$\delta _{1}=kG/(2C)$ $\delta _{2}=G/(2C)$ $\omega _{1}={\sqrt {1/(LC)-(kG/2C)^{2)))$ $\omega _{2}={\sqrt {1/(LC)-(G/2C)^{2)))$
$T$ $t_{1}$ $a_{1,2}$ $b_{1,2}$

$u_{1}(0)=U_{0}$ $u_{1}(t_{1})=U_{0)$ $u_{1}(0)=u_{2}(T)$ $u_{1}(t_{1})=u_{2}(t_{1})$ $\left.{\begin{matrix}du_{1}/dt\end{matrix}}\right|_{0}=\left.{\begin{matrix}du_{2}/dt\end{ matrice}}\right|_{T}$ $\left.{\begin{matrix}du_{1}/dt\end{matrix}}\right|_{t_{1}}=\left.{\begin{matrix}du_{2}/dt \end{matrice}}\right|_{t_{1}}$

$L=1$ $C=1$ $G=0,2$ $U_{0}=1$ $k=2$

$a_{1}=4,66464104629771$ ,B; ,B; ,B; ,B; ,Cu; , Cu. $a_{2}=1$ $b_{1}=2,13803529592679$ $b_{2}=0,0116873463357039$ $t_{1}=2,78836465601698$ $T=6,55583946961978$

În cazul în care oscilațiile generate devin relaxaționale, soluția este căutată ca sumă a două funcții exponențiale, dar constantele soluției sunt încă determinate din condiția de continuitate și la punctele de potrivire , și . $G>{\sqrt {C/L}}$ $u(t)$ $du/dt$ $t=0$ $t=t_{1}$ $t=T$

Conductibilitatea diferenţială poate fi specificată în alt mod [3] . $g(u)$

Note

↑ Andronov, A.A., Chaikin, C.E., Theory of Oscillations, Princeton University Press, Princeton, NJ, (1949).
↑ Biryukov V. N., Gatko L. E. „Exact stationary solution of the autogenerator equation”, Nonlinear World, 10 (9),. 613-616, (2012).
↑ Pilipenko AM și Biryukov VN „Investigation of Modern Numerical Analysis Methods of Self-Oscillatory Circuits Efficiency”, Journal of Radio Electronics, nr. 9, (2013). http://jre.cplire.ru/jre/aug13/9/text-engl.html Arhivat 3 februarie 2017 la Wayback Machine