N-grup (teoria grupurilor)

Un N-grup este un grup ale cărui subgrupuri locale (adică normalizatorii de subgrupuri p non-triviale ) sunt rezolvabile . Thompson a clasificat cazurile indecidabile în timp ce lucra la găsirea tuturor grupurilor simple finite minime.

N-grupuri simple

Grupurile N simple au fost clasificate de Thompson [1] [2] [3] [4] [5] [6] într-o serie de 6 articole însumând aproximativ 400 de pagini.

Grupurile N simple constau din grupuri liniare speciale , grupuri Suzuki , grup unitar , grup alternant A 7 , grup Mathieu M 11 și grupul Tits . (Grupul Tits a fost omis în lucrarea originală a lui Thompson în 1968, dar Hearn a subliniat că este, de asemenea, un simplu N-grup). Mai general, Thompson a arătat că orice N-grup nesolubil este un subgrup de Aut( G ) care conține G pentru un N-grup simplu G. $\mathrm {PSL} _{2}(q),\mathrm {PSL} _{3}(3)$ $\mathrm {Sz} (2^{2n+1})$ $\mathrm {U} _{3}(3)$

Gorenstein și Lyons [7] au generalizat teorema lui Thompson în cazul grupurilor ale căror subgrupuri 2-locale sunt rezolvabile. Singurele grupuri simple adăugate sunt grupurile unitare U 3 ( q ).

Dovada

Gorenstein [8] oferă un rezumat al clasificării N-grupurilor lui Thompson.

Numerele prime care împart ordinea grupului sunt împărțite în patru clase $\pi _{1},\pi _{2},\pi _{3},\pi _{4)$

$\pi_{1}$ este mulțimea primelor p astfel încât subgrupul Sylow p este netrivial și ciclic.
$\pi _{2}$ este mulțimea primelor p astfel încât subgrupul Sylow p al lui P este neciclic, dar SCN 3 ( P ) este gol
$\pi _{3}$ este mulțimea primelor p astfel încât p -subgrupul Sylow P are un SCN 3 ( P ) nevid și P normalizează un subgrup abelian netrivial de ordin coprim la p .
$\pi _{4)$ este mulțimea primelor p astfel încât p -subgrupul Sylow P are un SCN 3 ( P ) nevid, dar nu normalizează un subgrup abelian netrivial de ordin coprim la p .

Dovada este împărțită în mai multe cazuri, în funcție de care dintre aceste patru clase îi aparține primul 2, precum și de întregul e , care este cel mai mare întreg pentru care există un subgrup abelian elementar rang e normalizat prin un 2-subgrup non-trivial.

1968 Thompson [1] a făcut o introducere generală, afirmând teorema principală și demonstrând leme preliminare.
1970 Thompson [2] a descris grupele E 2 (3) și S 4 (3) (în notația lui Thompson, acestea sunt grupul excepțional G 2 (3) și grupul simplectic Sp 4 (3)), care nu sunt N- grupuri, dar descrierea lor este necesară pentru a demonstra teorema principală.
1971 Thompson [3] a analizat cazul . Teorema 11.2 arată că în cazul în care grupul este un grup sau . Posibilitatea este exclusă arătând că orice astfel de grup trebuie să fie un grup C și folosind clasificarea Suzuki a grupurilor C, se verifică că niciunul dintre grupurile găsite de Suzuki nu îndeplinește această condiție. $2\notin \pi _{4)$ $2\in \pi _{2)$ $\mathrm {PSL} _{2}(q),\mathrm {M} _{11},A_{7},\mathrm {U} _{3}(3)$ $\mathrm {PSL} _{3}(3)$ $2\in \pi _{3)$
1973 Thompson [4] [5] a luat în considerare cazurile și sau . El a arătat că fie G este un grup C , deci este un grup Suzuki, fie satisface descrierea grupurilor E 2 (3) și S 4 (3) din a doua lucrare a sa, care nu sunt grupuri N. $2\in \pi _{4)$ $e\geqslant 3$ $e=2$
1974 Thompson [5] a considerat cazul și e =1, unde singurul caz posibil este că G este un grup C sau un grup Tits . $2\notin \pi _{4)$

Consecințele

Un grup simplu minim este un grup simplu neciclic, ale cărui subgrupuri proprii sunt rezolvabile. O listă completă de grupuri minime simple a fost oferită de Thompson [9]

PSL 2 (2 p ), p este prim.
PSL 2 (3 p ), p este un prim impar.
PSL 2 ( p ), p > 3 prim, comparabil cu 2 sau 3 mod 5
Sz(2 p ), p este un prim impar.
PSL 3 (3)

Cu alte cuvinte, grupurile simple finite neciclice trebuie să aibă un subfactor izomorf la una dintre aceste grupuri.

Note

↑ 12 Thompson , 1968 .
↑ 12 Thompson , 1970 .
↑ 12 Thompson , 1971 .
↑ 12 Thompson , 1973 .
↑ 1 2 3 Thompson, 1974 .
^ Thompson, 1974b .
↑ Gorenstein, Lyon, 1976 .
↑ Gorenstein, 1980 , p. 16.5.
↑ Thompson, 1968 , p. corolarul 1.

Literatură

Gorenstein D., Lyons R. Grupuri finite nesolubile cu subgrupuri 2-locale solubile // Journal of Algebra . - 1976. - T. 38 . — S. 453–522 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(76)90233-7 .
Gorenstein D. Grupuri finite. - New York: Chelsea, 1980. - ISBN 978-0-8284-0301-6 .
John G. Thompson. Grupuri finite nerezolvabile ale căror subgrupuri locale sunt rezolvabile // Buletinul Societății Americane de Matematică . - 1968. - T. 74 . — S. 383–437 . — ISSN 0002-9904 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1968-11953-6 .
John G. Thompson. Grupuri finite nerezolvabile ale căror subgrupuri locale sunt rezolvabile. II // Pacific Journal of Mathematics . - 1970. - T. 33 . — S. 451–536 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1970.33.451 .
John G. Thompson. Grupuri finite nerezolvabile ale căror subgrupuri locale sunt rezolvabile. III // Pacific Journal of Mathematics . - 1971. - T. 39 . — S. 483–534 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1971.39.483 .
John G. Thompson. Grupuri finite nerezolvabile ale căror subgrupuri locale sunt rezolvabile. IV // Pacific Journal of Mathematics . - 1973. - T. 48 . — S. 511–592 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1973.48.511 .
John G. Thompson. Grupuri finite nerezolvabile ale căror subgrupuri locale sunt rezolvabile. V // Pacific Journal of Mathematics . - 1974. - T. 50 . — S. 215–297 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1974.50.215 .
John G. Thompson. Grupuri finite nerezolvabile ale căror subgrupuri locale sunt rezolvabile. VI // Pacific Journal of Mathematics . — 1974b. - T. 51 . — S. 573–630 . — ISSN 0030-8730 . - doi : 10.2140/pjm.1974.51.573 .