Ecuația xʸ = yˣ

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 22 decembrie 2017; verificările necesită 15 modificări .

Deși operația de exponențiere nu este comutativă , egalitatea este valabilă pentru unele perechi, de exemplu [1] $x^{y}=y^{x}$ $(X y),$ $x=2,y=4.$

Istorie

Ecuația este menționată în scrisoarea lui Bernoulli către Goldbach (29 iunie 1728 [2] ). Scrisoarea spune că pentru , perechea este singura soluție (până la permutare) în numerele naturale, deși există infinit de soluții în numerele raționale [3] [4] . Scrisoarea de răspuns a lui Goldbach (31 ianuarie 1729 [2] ) conține soluția generală a ecuației obținute prin înlocuirea [3] O soluție similară este dată de Euler [4] . J. van Hengel a subliniat că dacă sunt numere întregi pozitive, sau atunci , pentru a rezolva o ecuație în numere naturale , este suficient să luăm în considerare cazurile și [4] [5] $x^{y}=y^{x}$ $x\ney$ $(2,4)$ $y=vx.$ $r,n$ $r\geqslant 3$ $n\geqslant 3,$ $r^{r+n}>(r+n)^{r},$ $x=1$ $x=2.$

Problema a fost luată în considerare în mod repetat în literatura matematică [3] [4] [2] [6] [7] . În 1960, ecuația a fost printre sarcinile Olimpiadei Putnam [8] , ceea ce l-a determinat pe A. Hausner să extindă rezultatele la câmpurile algebrice [3] [9] .

Soluții în numere reale

O mulțime infinită de soluții triviale în numere reale pozitive poate fi găsită ca soluții ale ecuației Soluții netriviale pot fi găsite setând Atunci $x=y.$ $x\neq y,$ $y=vx.$

(vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}.

Ridicarea ambelor părți la o putere și apoi împărțirea la dă ${\tfrac {1}{x}}$ $X$

v=x^{v-1}.

Apoi soluțiile netriviale în numere reale pozitive sunt exprimate ca

x=v^{\frac {1}{v-1)),

y=v^{\frac {v}{v-1)).

O soluție netrivială în numere naturale poate fi obținută prin stabilirea sau $4^{2}=2^{4}$ $v=2$ $v={\tfrac {1}{2}}.$

Soluție în ceea ce privește funcția Lambert W

Soluția ecuației poate fi exprimată și în termenii funcției Lambert W non-elementare a variabilei : [10] $y^{x}=x^{y)$ $W(x)$ $X$

$y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow y^{\frac {1}{y}}=x^{\frac {1}{x}}$ , hai sa facem o inlocuire : $x={\frac {1}{z)}$

${\displaystyle y^{\frac {1}{y}}={\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{1\div {\frac {1}{z} }}\Longleftrightarrow {\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{-z}= y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{z}=y^{-{\frac {1}{y))))$

Variabila poate fi acum exprimată în termenii funcției W Lambert : $z$ $z=e^{W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y)}}{\bigr )}{\bigr )))$

Soluția finală va arăta astfel: $x=e^{-W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y)}}{\bigr )}{\bigr )))$

În special, având în vedere ambiguitatea acestei funcții, intervalul sau ecuația va avea două rădăcini . $e^{-{\frac {1}{e}}}\leqslant y^{-{\frac {1}{y}}}<1$ $e^{\frac {1}{e}}\leqslant y^{\frac {1}{y}}<1$ $x_{1},x_{2)$

Care dintre parametrii ( sau ) va fi o variabilă, în esență, nu contează, formula va rămâne aceeași. $y$ $X$

Dacă inegalitatea (sau )< este adevărată pentru o variabilă (sau ) , atunci nu există rădăcini în numerele reale. $X$ $y$ $y$ $X$ $e^{\frac {1}{e)}$

Soluție în termeni de superrădăcină de gradul doi

Ecuația este un caz special al ecuației pentru și . Prin înlocuirea acestor valori în formula soluției generale, este ușor să găsiți soluția ecuației inițiale: [11] $y^{x}=x^{y)$ $y^{x}=bx^{n},{\text{ }}y,b=const$ $b=1$ $n=y$

${\displaystyle y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2)} {\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y\times {\sqrt[{y}]{1))))}{\Bigr )}{\biggr )}^{-1} \Longleftrightarrow x_{1,2,3}=-y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2)){\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y))}{\Bigr )}{\biggr )))$

Această soluție este mai completă, deoarece vă permite să obțineți rădăcini reale negative, dacă acestea există (deoarece logaritmul , spre deosebire de exponentul din soluția anterioară, poate fi mai mic decât zero). Existența celei de-a treia rădăcini se explică prin echivalența ecuațiilor și pentru chiar , totuși, în practică, există doar maximum două rădăcini reale (a treia rădăcină din formulă este neapărat străină) datorită faptului că superrădăcina funcția de gradul doi este inversul funcției de mai sus (în caz contrar ), care este exprimată în termenii funcției Lambert W, care, la rândul său, nu poate lua mai mult de două valori reale [12] . $y^{x}=x^{y)$ $y^{x}=(-x)^{y)$ $y$ $f(z)={}^{\frac {1}{2}}z$ $f(z)=z^{z)$ $f(z)={}^{2}z$

Egalitatea identică rezultă din această soluţie: . Acest lucru este ușor de demonstrat prin echivalarea celor două soluții descrise mai sus una cu cealaltă: $-y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{ }^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}$

$-y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{ }^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}\Longftrightarrow {}^{\frac {1}{2}}(y^{ -{\frac {1}{y}}}})\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}}) = -{\frac {1}{y}}$ , apoi conform proprietăților logaritmului și superrădăcinii de gradul doi:

$\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}}){\biggr )}^ {{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}=-{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow \log _{ y}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}$ . Identitatea dovedită este un caz special al cazului mai general de la [11] . $b=-y$

Note

↑ 1 2 Lajos Loczi. Despre puterile comunicative si asociative . KoMaL . Arhivat din original pe 15 octombrie 2002. (nedefinit)
↑ 1 2 3 David Singmaster . Surse în matematică recreațională: o bibliografie adnotată. a 8-a ediție preliminară . Arhivat din original pe 16 aprilie 2004. (nedefinit)
↑ 1 2 3 4 Marta Sved. Despre soluțiile raționale ale lui x y = y x // Revista de matematică. - 1990. Arhivat la 4 martie 2016.
↑ 1 2 3 4 Leonard Eugene Dickson. Soluții raționale ale lui x y = y x // Istoria teoriei numerelor . - Washington, 1920. - Vol. II. — p. 687.
↑ Hengel, Johann van. Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positiven ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung a b = b a genügt . - 1888. Arhivat la 14 aprilie 2016.
↑ D. O. Shklyarsky , N. N. Chentsov , I. M. Yaglom . 5. Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi. Problema 168 // Probleme și teoreme alese de matematică elementară. Aritmetică și algebră. - 5. - M . : Nauka , 1976. - S. 35. - 384 p. - (Biblioteca cercului matematic). — 100.000 de exemplare.
↑ Galperin G. A., Tolpygo A. K. Olimpiadele de matematică din Moscova: carte. pentru elevi / Ed. A. N. Kolmogorova. - M . : Educaţie, 1986. - S. 33, 34, 160.
↑ Al douăzeci și unu-lea concurs de matematică William Lowell Putnam (3 decembrie 1960), sesiune de după-amiază, problema 1 // The William Lowell Putnam mathematical competition problems and solutions: 1938-1964 / AM Gleason, RE Greenwood, LM Kelly. - MAA , 1980. - P. 59. - ISBN 0-88385-428-7 .
↑ A. Hausner, Câmpurile numerice algebrice și ecuația diofantină m n = n m , Amer. Matematică. Lunar 68 (1961), 856-861.
↑ Lambert W-function // Wikipedia. — 13.09.2017. (Rusă)
↑ 1 2 Superroot // Wikipedia. — 22.06.2018. (Rusă)
↑ A. E. Dubinov, I. D. Dubinova, S.K. Saykov. Funcția W Lambert și aplicarea ei la problemele matematice din fizică . - Sarov: Întreprinderea Unitară Federală de Stat „RFNC-VNIIEF”, 2006. - 160 p. - ISBN 5-9515-0065-6 , BBC 22.311ya 73, D79. Arhivat pe 27 iunie 2018 la Wayback Machine

Link -uri

Soluții raționale la x^y = y^x . CTK Wiki Math . (nedefinit)
x^y = y^x - puteri de comutație . Puzzle-uri aritmetice și analitice . Torsten Silke. Arhivat din original pe 28 decembrie 2015. (nedefinit)
dborkovitz. Graficul parametric al lui x^y=y^x . GeoGebra (29 ianuarie 2012). (nedefinit)
Secvența OEIS A073084 : Expansiune zecimală -x unde x este soluția negativă a ecuației 2^x = x^2