Funcția W a lui Lambert

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 7 martie 2020; verificările necesită 7 modificări .

$W$ Funcția Lambert este definită ca funcție inversă a , pentru complex . Notat sau . Pentru orice complex , acesta este determinat de ecuația funcțională : $f(w)=noi^{w}$ $w$ $W(x)$ $\operatorname {LambertW}(x)$ $z$

z=W(z)e^{{W(z)}}

$W$ Funcția Lambert nu poate fi exprimată în funcții elementare . Este folosit în combinatorică , de exemplu, la numărarea numărului de arbori , precum și la rezolvarea ecuațiilor.

Istorie

Funcția a fost studiată în lucrarea lui Leonhard Euler în 1779 , dar nu a avut un sens și un nume independent până în anii 1980. Ca funcție independentă, a fost introdusă în sistemul de algebră computerizată Maple , unde a fost folosit numele LambertW . Numele Johann Heinrich Lambert a fost ales pentru că Euler s-a referit la opera lui Lambert în lucrarea sa și pentru că „ar fi inutil să numim o altă funcție după Euler” [1] .

Polisemie

Deoarece funcția nu este injectivă pe interval , este o funcție cu mai multe valori pe . Dacă ne limităm la cele reale și solicităm , se va defini o funcție cu o singură valoare . $f(w)$ $(-\infty,0)$ $W(z)$ $(-{\frac {1}{e}},0)$ $z=x\geqslant -1/e$ $w\geqslant -1$ $W_{0}(x)$

Asimptotice

Este util să cunoaștem asimptoticele funcției pe măsură ce se apropie de anumite puncte cheie. De exemplu, pentru a accelera convergența atunci când se efectuează calcule recursive.

$\left.W(z)\right|_{{z\la \infty }}=\log(z)-\log(\log(z))$

$\left.W(z)\right|_{{z\la -{\frac {1}{e))))={\sqrt {2(ez+1)))-1$

Alte formule

\int _{{0}}^{{\pi }}W{\bigl (}2\cot ^{2}(x){\bigr )}\sec ^{2}(x)\;{\mathrm d}x=4{\sqrt {\pi ))

\int _{{0}}^{{+\infty }}W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\;{\mathrm d}x={\sqrt { 2\pi }}

\int _{{0}}^{{+\infty }}{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}{\mathrm d}x=2{\sqrt {2\ pi}}

Proprietăți

Prin diferențierea funcției implicite se poate obține că, pentru , funcția Lambert satisface următoarea ecuație diferențială: $z\neq -{\tfrac {1}{e}}$

{dW \over dz}={\frac {1}{z}}{\frac {W(z)}{W(z)+1}}.

Folosind teorema inversării în serie, se poate obține o expresie pentru seria Taylor ; converge în vecinătatea lui zero pentru : $|z|<{\tfrac {1}{e}}$

W_{0}(x)=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-n)^{{n-1}}}{n!}}\ x^{n }=xx^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}} x^{5}-\cdots .

Folosind integrarea prin părți , putem găsi integrala lui W(z):

\int W(x)\,dx=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.

Valori în anumite puncte

W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}

W(-1)\aprox -0,31813+1,33723i

W\left(-{1 \over e}\right)=-1

W\left(-{\frac {\ln a}{a))\right)=-\ln a

, la

{\frac {1}{e}}\leq a\leq e

W(0)=0

W(e)=1

W(1)=\Omega \approx 0{,}56714329

( Omega constantă )

Formule

$W(xe^{x})=x,\,x>0$

$e^{n\cdot W(x)}=\left({\frac {x}{W(x)))\right)^{n)$

$\ln W(x)=\ln xW(x),\,x>0$

$W\left({\frac {nx^{n}}{W(x)^{n-1}}}\right)=nW(x),\,n>0,x>0$

$W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {W(x)+W(y))}{W(x)W(y)))\dreapta)\ dreapta),\,x>0,y>0$

Rezolvarea ecuațiilor cu funcția W

Soluțiile la multe ecuații transcendentale pot fi exprimate sub forma unei funcții W.

Exemplu: $x^{x}=z$

\ln z=x\ln x=e^{{\ln x}}\,\ln x

, prin urmare, .

x=e^{{W(\ln z)}}

Exemplu: $2^{x}=5x$

1=5x\cdot 2^{{-x}}=5x\,e^{{-x\ln 2}}

Indicați , apoi , de aici și în final . $y=-x\ln 2$ $y\,e^{y}={-\ln 2 \over 5}$ $y=W\stânga({-\ln 2 \over 5}\dreapta)$ $x=-{1 \over \ln 2}W\left({-\ln 2 \over 5}\right)$

Aplicații generalizate ale funcției W Lambert

Funcția W standard Lambert arată soluții exacte pentru ecuațiile algebrice transcendentale de forma:

e^{{-cx}}=a_{o}(xr)~~\quad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)

unde a 0 , c și r sunt constante reale. Soluția unei astfel de ecuații este . Următoarele sunt câteva dintre aplicațiile generalizate ale funcției W Lambert: [2] [3] [4] ${\displaystyle x=r+{\frac {1}{c}}W{\Big (}{\frac {c\,e^{-cr}}{a_{o}}}{\Big )))$

Această funcție poate fi utilizată în relativitatea generală și în mecanica cuantică ( gravitația cuantică ) în dimensiuni inferioare. Revista Classical and Quantum Gravity [5] a prezentat o legătură necunoscută anterior între aceste două concepte, în care partea dreaptă a ecuației devine un polinom pătratic în variabila x :

e^{{-cx}}=a_{o}(x-r_{1})(x-r_{2})~~\qquad \qquad (2)

şi unde constantele r 1 şi r 2 sunt rădăcinile acestui polinom pătratic. În acest caz, soluția acestei ecuații este o funcție cu un argument x , iar r i și a o sunt parametrii acestei funcție. Din acest punct de vedere, deși această aplicație generalizată a funcției Lambert W seamănă cu funcția hipergeometrică și cu funcția „Meijer G”, ea aparține unui alt tip de funcție. Când r 1 = r 2 , atunci ambele părți ale ecuației (2) pot fi simplificate la ecuația (1), și astfel soluția globală este simplificată la funcția W standard. Ecuația (2) arată relațiile constitutive în câmpul scalar dilaton , din care rezultă rezolvarea problemei de măsurare a gravitației liniare a corpurilor perechi în dimensiuni 1 + 1 (măsurători de spațiu și timp) în cazul maselor inegale, precum și ca soluție a problemei ecuației Schrödinger staționare bidimensionale cu un potențial sub forma funcției delta Dirac pentru sarcini inegale într-o dimensiune.

Această funcție poate fi folosită pentru a rezolva o problemă particulară a energiilor interne a mecanicii cuantice, care constă în determinarea mișcării relative a trei corpuri, și anume, un ion de hidrogen molecular tridimensional [6] [7] . În acest caz, partea dreaptă a ecuației (1) (sau (2)) devine acum raportul a două polinoame infinite din variabila x :

e^{{-cx}}=a_{o}{\frac {\displaystyle \prod _{{i=1}}^({\infty }}(x-r_{i})}{\displaystyle \prod _{{i=1}}^{{\infty }}(x-s_{i})}}\qquad \qquad \qquad (3)

unde r i și s i sunt constante, iar x este o funcție între energia internă și distanța în interiorul nucleului R. Ecuația (3), precum și formele sale simplificate exprimate în ecuațiile (1) și (2), sunt de tipul de ecuaţii diferenţiale cu întârziere .

Aplicațiile funcției W Lambert în problemele de fizică de bază nu se limitează la ecuația standard (1), așa cum a fost demonstrat recent în domeniile fizicii atomice, moleculare și optice [8] .

Calcul

$W$ -funcția poate fi calculată aproximativ folosind relația de recurență [1] :

w_{{j+1}}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{{w_{j}}}-z}{e^{{w_{j}}}(w_{j }+1)-{\frac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{{w_{j))}-z)}{2w_{j}+2))))

Un exemplu de program în Python :

import matematică def lambertW ( x , prec = 1e-12 ): w = 0 pentru i în interval ( 100 ): wTimesExpW = w * math . exp ( w ) wPlusOneTimesExpW = ( w + 1 ) * matematică . exp ( w ) w -= ( wTimesExpW - x ) / ( wPlusOneTimesExpW - ( w + 2 ) * ( wTimesExpW - x ) / ( 2 * w + 2 )) dacă prec > abs (( x - wTimesExpW ) / wPlusOneTimesExpW ): break if prec <= abs (( x - wTimesExpW ) / wPlusOneTimesExpW ): ridică excepția ( "W(x) nu converge suficient de repede pentru x= %f " % x ) return w

Pentru un calcul aproximativ, puteți folosi formula [9] : !!!Funcția de mai sus este similară, dar diferă cu mai mult de 10% de funcția Lambert

W(x)\aproximativ \left\{{\begin{matrix}0{,}665\cdot (1+0{,}0195\ln(x+1))\ln(x+1)+0{, }04&\ :\ &0<x\leq 500\\\ln(x-4)-(1-{1 \over \ln x})\ln \ln x&\ :\ &x>500\\\end{matrice }}\dreapta.

Link -uri

↑ 1 2 Corless et al. Pe funcția Lambert W (nedefinită) // Adv. Matematică computaţională .. - 1996. - V. 5 . - S. 329-359 . Arhivat din original la 18 ianuarie 2005.
↑ T.C. Scott, R.B. Mann. Relativitate generală și mecanică cuantică: către o generalizare a funcției Lambert W (engleză) // AAECC (Algebra aplicabilă în inginerie, comunicare și calcul) : jurnal. - 2006. - Vol. 17 , nr. 1 . - P. 41-47 . - doi : 10.1007/s00200-006-0196-1 .
↑ T.C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst. Seria asimptotică a funcției Lambert W generalizate // SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) : jurnal . - 2013. - Vol. 47 , nr. 185 . - P. 75-83 .
↑ T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst, W. Z. Zhang. Numerice ale funcției Lambert W generalizate (nedefinită) // SIGSAM. - 2014. - T. 48 , Nr. 1/2 . - S. 42-56 .
↑ P.S. Farrugia, R.B. Mann, T.C. Scott. Gravitația N-corp și ecuația Schrödinger (engleză) // Gravitația clasică și cuantică : jurnal. - 2007. - Vol. 24 , nr. 18 . - P. 4647-4659 . - doi : 10.1088/0264-9381/24/18/006 .
↑ T.C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst. Noua abordare pentru energiile electronice ale ionului molecular de hidrogen // Chem . Fiz. : jurnal. - 2006. - Vol. 324 . - P. 323-338 . - doi : 10.1016/j.chemphys.2005.10.031 .
↑ Maignan, Aude; Scott, TC Consolidarea funcției generalizate Lambert W (nedefinită) // SIGSAM. - 2016. - T. 50 , Nr. 2 . - S. 45-60 . - doi : 10.1145/2992274.2992275 .
↑ T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J. D. Morgan III. Suprafețele nodale ale funcțiunilor proprii ale atomului de heliu // Phys . Rev. A : jurnal. - 2007. - Vol. 75 . — P. 060101 . - doi : 10.1103/PhysRevA.75.060101 .
↑ Funcția de precizie dublă LAMBERTW(X) Arhivată 2 septembrie 2005 la Wayback Machine în pachetul QCDINS Arhivată 4 aprilie 2005 la Wayback Machine