Scorul Z

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 17 februarie 2022; verificările necesită 3 modificări .

Un scor standardizat ( z-score , engleză: Standard Score , z-score ) este o măsură a răspândirii relative a unei valori observate sau măsurate, care arată câte abateri standard face răspândirea medie relativă a acesteia . Este o statistică fără dimensiuni utilizată pentru a compara valorile diferitelor dimensiuni sau scări de măsurare.

Informații de bază

În teoria probabilității și statistică, o variabilă aleatoare standardizată [1] este o variabilă aleatoare a cărei așteptare matematică este zero și a cărei abatere standard este una. Orice variabilă aleatoare x cu așteptări matematice și abatere standard poate fi redusă la o variabilă aleatoare standardizată folosind formula: . Această transformare include centrarea variabilelor aleatoare (diferența dintre o variabilă aleatoare dată x și media ei ) și normalizarea (raportul unei variabile aleatoare date x la abaterea ei standard ). Distribuția unei variabile aleatoare normale standardizate se numește distribuție normală standard cu o funcție de densitate . $\mu$ $\sigma$ $z$ ${x-\mu \over \sigma }$ ${(x-\mu))$ $\mu$ ${x \over \sigma }$ $\sigma$ $z$ $N(0,1)$ $f(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-z^{2}}{2}}\right)$

Conceptul de variabilă aleatoare standardizată este un caz special de variabilă aleatoare redusă definită printr-o valoare centrală relativă și un parametru de scară, altul decât media și abaterea standard.

În aplicațiile practice, orice set de date cu medie și abatere standard poate fi convertit într-un alt set cu medie și abatere standard , astfel încât valorile convertite să fie direct exprimate în abateri ale valorilor inițiale de la medie, măsurate în unităţi de abatere standard. $x_{i}$ ${\bara {X}}$ $S$ $0$ $unu$ $z$

Faptul că scorurile z aparțin distribuției normale standard oferă posibilitatea de a utiliza scorurile z pentru a compara valorile neuniforme ale măsurătorilor primare. Majoritatea metodelor statistice se bazează pe presupunerea că distribuția datelor este normală, astfel încât utilizarea scorurilor z împreună cu transformarea la normalitate extinde foarte mult posibilitățile de analiză și cercetare ulterioară. $N(0,1)$

Metoda de calcul

Valoarea estimată standardizată se calculează prin formula [2] : $X$

z={x-{\bar {X}} \over S_{x}}

unde este valoarea medie a , este abaterea standard calculată pentru setul de date . ${\bara {X}}$ $S x}$ $xi$

Valorile și pot fi calculate din eșantion de date, sau obținute în populația generală , sau stabilite pentru o anumită populație . ${\bara {X}}$ $S x}$

Interpretare

Valoarea absolută a lui z este o estimare (în unități de abatere standard) a distanței dintre x și media populației sale μ . Dacă z este mai mic decât zero, atunci x este sub medie, dacă z este mai mare decât zero, atunci x este situat deasupra mediei μ .

Valorile nu sunt doar un mijloc convenabil de informare despre poziția unei valori asociate cu medie și măsurată în unități de abatere standard, ci și un pas înainte în transformarea setului la o scară arbitrară cu caracteristici convenabile ale mediei și abaterii standard. . $z$ $xi$

Echivalentul percentilelor de scoruri z

Deoarece distribuția scorurilor z este aproximată printr-o distribuție normală standard, există o corespondență unu-la-unu între percentile (quantile de ordin q) și valorile z. Acest lucru vă permite să traduceți fără ambiguitate scara gradațiilor de rang sau a punctelor în valori de scor z și invers (de exemplu, valoarea z=-3 corespunde percentilei 0,13, z=-2 percentilei 2,3, z= -1 la percentila 15,9 etc.). $\Sageata dreapta$ $\Sageata dreapta$

Aplicație practică

Există multe scale de măsurare cu medii arbitrare și abateri standard care sunt comune în științele sociale.

Pedagogie și psihologie

Scorurile la scară sunt obișnuite, atunci când scorurile testelor sunt stabilite pe baza locului său pe o scară specială care conține date despre standardele de performanță a testelor intragrup. Scorurile testelor de inteligență sunt adesea convertite la o scală cu o medie de 100 și o abatere standard de 15 sau 16. Valorile sunt indicatori [3] , calculati ca având aplicație largă. $T$ $10z+50$

Un alt exemplu de transformare neliniară într-o scală standard este standardul nouă , când indicatorii primari sunt clasați în ordine crescătoare și împărțiți în grupuri cu un număr proporțional cu anumite frecvențe de evaluări ale distribuției normale, evaluările rezultate iau valori de la 1 la 9 ( =5, =2). Există multe scale bazate pe scoruri standardizate. $\mu$ $\sigma$

Pediatrie

Normalizarea este folosită pentru a descrie caracteristicile pacienților, ținând cont de eterogenitatea acestora. În practica pediatrică, a fost utilizat pe scară largă scorul deviației standard (sds), care este calculat pe baza mediei eșantionului și a abaterii standard a indicatorilor de referință ai unui copil de un anumit sex și vârstă [4] . Abaterea distribuțiilor indicatorilor de dezvoltare fizică de la normal a condus la utilizarea centrarii valorilor măsurate de mediană în loc de medie , unde este mediana și sunt percentilele 10 și 90 ale indicatorului de referință al unui copil de de același sex și vârstă. ${x-{\bar {X}} \over S_{x}}$ ${\bara {X}}$ $S x}$ ${x-Me \over Pr90-Pr10}$ $Eu$ $Pr10,Pr90$

Necesitatea de a lua în considerare forma distribuțiilor indicatorilor de dezvoltare fizică [5] , a condus la utilizarea unui scor z calculat ca

$z={\begin{cases}{\frac {(y/M)^{L}-1)}{L\S}),&{\text{if }}L\neq 0\\{ \frac {1}{S}}ln(a/M),&{\text{ if }}L=0\end{cases}}$

unde y este valoarea măsurată a indicatorului, este coeficientul de transformare a lui Box-Cox la normalitate, este mediana, este coeficientul de variație al indicatorului de referință sau standard al unui copil de același sex și vârstă. $L$ $M$ $S$

Orientările moderne ale OMS prezintă valori standard și de referință ale coeficienților L, M, S pentru studiul dezvoltării fizice a copiilor [6] , iar software-ul OMS ANTHROPlus [7] a fost dezvoltat pentru a lucra cu aceștia.

Vezi și

Variație (statistici)

Note

↑ GOST R 50779.10-2000 (ISO 3534.1-93) Metode statistice. Probabilitatea și bazele statisticii. Termeni și definiții
↑ Melnik M. Fundamentele statisticii aplicate. - Moscova: Energoatomizdat, 1983. - 416 p.
↑ J. Glass, J. Stanley. Metode statistice în pedagogie și psihologie. - Progres, 1976. - 496 p.
↑ Veltishchev Yu. E. Indicatori obiectivi ai dezvoltării normale și a stării de sănătate a copilului (standarde pentru copilărie). - Moscova, 2002. - P. 96. - ISBN NLA 575 / BN2-25072017 / 89.
↑ Borghi E. Construcția standardelor de creștere a copilului Organizației Mondiale a Sănătății: selecția metodelor pentru curbele de creștere atinse // Statistics in Medicine. - 2006. - T. 25 . — S. 247–265 .
↑ Standardele OMS de creștere a copiilor . Organizația Mondială a Sănătății . Consultat la 23 octombrie 2017. Arhivat din original la 22 octombrie 2017. (nedefinit)
↑ Instrumentul software OMS Anthro pentru computere personale . Standardele OMS de creștere a copiilor . Consultat la 23 octombrie 2017. Arhivat din original la 21 octombrie 2017. (nedefinit)