In medie

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 mai 2022; verificările necesită 5 modificări .

Media aritmetică (în matematică și statistică ) este un fel de valoare medie . Este definit ca un număr egal cu suma tuturor numerelor din mulțime împărțită la numărul lor. Este una dintre cele mai comune măsurători ale tendinței centrale .

A fost propusă (împreună cu media geometrică și media armonică ) de către pitagoreici [1] .

Cazuri speciale ale mediei aritmetice sunt media ( a populației generale ) și media eșantionului ( a eșantionului ).

În cazul în care numărul de elemente ale mulțimii de numere ale unui proces aleator staționar este infinit, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare joacă rolul de medie aritmetică .

Introducere

Să notăm mulțimea de numere X = ( x 1 , x 2 , …, x n ) - atunci media eșantionului este de obicei notă cu o bară orizontală peste variabila ( , pronunțată „ x cu bară”). ${\bara {x}}$

Litera greacă μ este de obicei folosită pentru a desemna media aritmetică a întregii populații de numere . Pentru o variabilă aleatoare , pentru care este definită valoarea medie, μ este media probabilității sau așteptarea matematică a variabilei aleatoare. Dacă mulțimea X este o mulțime de numere aleatoare cu media probabilității μ, atunci pentru orice probă x i din această mulțime μ = E{ x i } este așteptarea acestui eșantion.

În practică, diferența dintre μ și μ este că μ este o variabilă tipică, deoarece puteți vedea eșantionul mai degrabă decât întreaga populație . Prin urmare, dacă eșantionul este prezentat aleatoriu (în termeni de teoria probabilității ), atunci (dar nu μ) poate fi tratată ca o variabilă aleatoare având o distribuție de probabilitate pe eșantion (distribuția probabilității a mediei). ${\bara {x}}$ ${\bara {x}}$

Ambele cantități sunt calculate în același mod:

{\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{{i=1}}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{ 1}+\cdots +x_{n}).

Dacă X este o variabilă aleatoare , atunci media lui X poate fi considerată ca media aritmetică a valorilor în măsurători repetate ale lui X. Aceasta este o manifestare a legii numerelor mari . Prin urmare, media eșantionului este utilizată pentru a estima așteptările matematice necunoscute.

În algebra elementară , se demonstrează că media a n + 1 numere este mai mare decât media a n numere dacă și numai dacă noul număr este mai mare decât vechea medie, mai mic dacă și numai dacă noul număr este mai mic decât media , și nu se schimbă dacă și numai dacă noul numărul este media. Cu cât n este mai mare , cu atât este mai mică diferența dintre mediile noi și cele vechi.

Rețineți că există câteva alte „medii” disponibile, inclusiv media puterii , media Kolmogorov , media armonică , media aritmetică-geometrică și diverse medii ponderate (de exemplu, medie ponderată aritmetică , medie ponderată geometrică , medie ponderată armonică ).

Exemple

Pentru a obține media aritmetică a trei numere, trebuie să le adunați și să le împărțiți la 3:

{\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}.

Pentru a obține media aritmetică a patru numere, trebuie să le adunați și să le împărțiți la 4:

{\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}}.

Variabilă aleatoare continuă

Dacă există o integrală a unei funcții a unei variabile, atunci media aritmetică a acestei funcții pe segment este determinată printr-o integrală definită : $f(x)$ $[a;b]$

{\overline {f(x)}}_{[a;b]}={\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)dx.

Aici, pentru a determina segmentul , se înțelege că, în plus , numitorul nu este egal cu 0. $[a;b]$ $b\geq a,$ $b\neq a,$

Transformare liniară

Un set de date transformat liniar poate fi obținut prin aplicarea unei mapări liniare unui set de date scalat metric , după cum urmează: . Atunci noua medie a setului de date va fi , deoarece . $y_{1},\dots ,y_{n}$ $y=a+bx$ $x_{1},\dots ,x_{n}$ $y_{i}=a+bx_{i},i\in \{1,\dots,n\)$ ${\overline {y}}=a+b{\overline {x}}$ ${\overline {y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n}y_{i}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n}(a+bx_{i})=a+{\frac {b}{n}}\sum _{i=0}^{n}bx_{i}=a+b {\overline {x))$

Câteva probleme cu aplicarea mediei

Lipsa robusteței

Deși media aritmetică este adesea folosită ca medie sau tendințe centrale, acest concept nu se aplică statisticilor robuste, adică media aritmetică este puternic influențată de „abateri mari”. Este de remarcat faptul că, pentru distribuțiile cu o asimetrie mare , media aritmetică poate să nu corespundă conceptului de „medie”, iar valorile mediei din statistici robuste (de exemplu, mediana ) pot descrie mai bine tendința centrală.

Exemplul clasic este calculul venitului mediu. Media aritmetică poate fi interpretată greșit ca mediană , ceea ce poate duce la concluzia că există mai mulți oameni cu venituri mai mari decât sunt în realitate. Venitul „mediu” este interpretat în așa fel încât veniturile majorității oamenilor să fie apropiate de acest număr. Acest venit „mediu” (în sensul mediei aritmetice) este mai mare decât venitul majorității oamenilor, deoarece un venit mare cu o abatere mare de la medie face ca media aritmetică să fie puternic denaturată (dimpotrivă, venitul median „rezistă” o astfel de înclinare). Cu toate acestea, acest venit „mediu” nu spune nimic despre numărul de persoane aflate în apropierea venitului mediu (și nu spune nimic despre numărul de persoane din apropierea venitului modal). Cu toate acestea, dacă conceptele de „medie” și „majoritate” sunt luate cu ușurință, atunci se poate concluziona greșit că majoritatea oamenilor au venituri mai mari decât sunt în realitate. De exemplu, un raport privind venitul net „mediu” din Medina, Washington , calculat ca media aritmetică a tuturor veniturilor nete anuale ale rezidenților, va oferi un număr surprinzător de mare - din cauza lui Bill Gates . Luați în considerare eșantionul (1, 2, 2, 2, 3, 9). Media aritmetică este 3,17, dar cinci dintre cele șase valori sunt sub această medie.

Interes compus

Dacă numerele sunt înmulțite , nu adăugate , trebuie folosită media geometrică , nu media aritmetică. Cel mai adesea, acest incident se întâmplă atunci când se calculează rentabilitatea investiției în finanțe.

De exemplu, dacă stocurile au scăzut cu 10% în primul an și au crescut cu 30% în al doilea an , atunci se calculează creșterea „medie” în acești doi ani ca medie aritmetică ( -10% + 30% ) / 2 = 10 % este incorectă, iar media corectă în acest caz este dată de rata de creștere anuală compusă : creșterea anuală este de aproximativ 8,16653826392% ≈ 8,2% .

Motivul pentru aceasta este că dobânda are un nou punct de plecare de fiecare dată: 30% reprezintă 30% din numărul mai mic decât prețul de la începutul primului an: dacă stocul a început de la 30 USD și a scăzut cu 10% , acesta valorează la începutul celui de-al doilea an.27 $. Dacă stocul crește cu 30% , valorează 35,1 USD la sfârșitul celui de-al doilea an. Media aritmetică a acestei creșteri este de 10% , dar deoarece stocul a crescut doar cu 5,1 USD în 2 ani, o creștere medie de 8,2% dă un rezultat final de 35,1 USD:

30 USD × (1 – 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD × (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD. Dacă folosim media aritmetică a 10% în același mod, nu vom obține valoarea reală: $30 × (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $36,3.

Dobânda compusă la sfârșitul anului 2: 90% * 130% = 117% , adică o creștere totală de 17% , iar dobânda compusă medie anuală , adică o creștere medie anuală de 8,2% . ${\sqrt {117\%}}\aproximativ 108,2\%$

Indicații

Atunci când se calculează media aritmetică a unei variabile care se modifică ciclic (de exemplu, fază sau unghi ), trebuie avută o atenție deosebită. De exemplu, media de 1 ° și 359 ° ar fi 180 ° . Acest rezultat este incorect din două motive.

În primul rând, măsurile unghiulare sunt definite doar pentru intervalul de la 0 ° la 360 ° (sau de la 0 la 2π când sunt măsurate în radiani ). Astfel, aceeași pereche de numere ar putea fi scrisă ca (1° și -1°) sau ca (1° și 719°). Valorile medii ale fiecăreia dintre perechi vor fi diferite: , . ${\frac {1^{\circ }+(-1^{\circ })}{2}}=0^{\circ }$ ${\frac {1^{\circ }+719^{\circ }}{2}}=360^{\circ }$
În al doilea rând, în acest caz, valoarea 0° (echivalent cu 360°) va fi cea mai bună medie din punct de vedere geometric, deoarece numerele se abat de la 0° decât de la orice altă valoare (valoarea 0° are cea mai mică variație ). Pentru comparație:
- numărul 1° se abate de la 0° cu doar 1°;
- numărul 1° se abate de la media calculată de 180° cu 179°.

Valoarea medie pentru o variabilă ciclică, calculată conform formulei de mai sus, va fi deplasată artificial în raport cu media reală la mijlocul intervalului numeric. Din această cauză, media se calculează într-un mod diferit, și anume, ca valoare medie se alege numărul cu cea mai mică varianță (punctul central). De asemenea, în loc de scădere, se folosește distanța modulo (adică distanța circumferențială). De exemplu, distanța modulară între 1° și 359° este 2°, nu 358° (pe un cerc între 359° și 360° = 0° - un grad, între 0° și 1° - tot 1°, în total - 2°).

Note

↑ Cantrell, David W., „Pythagorean Means” Arhivat 22 mai 2011 la Wayback Machine din MathWorld

Vezi și

Link -uri

Media aritmetică // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
matematica financiara. Dispersia. In medie. deviație standard. Coeficient de variație Arhivat 19 septembrie 2020 la Wayback Machine / Metode de analiză financiară
Media aritmetică - un indicator al tendinței centrale / Teoria Probabilității și Statistica Matematică

Rău
Matematica	Puterea medie ( ponderată ) medie armonică ponderat medie geometrică ponderat In medie ponderat rădăcină medie pătrată Cubic mediu medie mobilă Media aritmetică-geometrică Funcție medie Kolmogorov înseamnă
Geometrie	centru geometric Barycenter
Teoria probabilității și statistica matematică	Winsorized înseamnă eșantion mediu Valorea estimata Median Modă deviație standard Medie trunchiată Așteptarea condiționată
Tehnologia de informație	Medoid metoda k-mediană
Teoreme	Prima teoremă medie A doua teoremă medie Inegalitatea cu privire la media aritmetică, geometrică și armonică
Alte	Valorile centrului de distribuție