Convergență absolută

O serie convergentă se numește absolut convergentă dacă seria modulelor converge , în caz contrar se numește convergentă condiționat . $\sum a_{n}$ $\sum |a_{n}|$

În mod similar, dacă o integrală improprie a unei funcții converge, atunci se numește convergentă absolut sau condiționat , în funcție de dacă integrala modulului ei converge sau nu . $\int f(x)\,dx$ $\int |f(x)|\,dx$

În cazul unui spațiu normat general, modulul din definiție este înlocuit cu o normă.

Rânduri

Semne de convergență absolută

Semn de comparație

Dacă la , atunci: $\exists N_{0}:|a_{n}|\leqslant b_{n}$ $n\geqslant N_{0}$

dacă seria converge, atunci seria converge absolut $\sum b_{n}$ $\sum a_{n}$
dacă seria diverge, atunci seria diverge $\sum a_{n}$ $\sum b_{n}$

După criteriul Cauchy , . Prin urmare, , și după criteriul Cauchy, seria converge. A doua afirmație rezultă din prima, deoarece dacă seria ar converge, atunci seria ar converge.

\forall \varepsilon >0\ \exists N\geqslant N_{0}\ \forall m\geqslant n\geqslant N:\left|\sum _{{k=n}}^{{m}}b_{k} \right|\leqslant \varepsilon

\left|\sum _{{k=n}}^{{m}}a_{k}\right|\leqslant \sum _{{k=n}}^{{m}}|a_{k}| \leqslant \sum _{{k=n}}^{{m}}b_{k}\leqslant \left|\sum _{{k=n}}^{{m}}b_{k}\right| \leqslant \varepsilon

\sum a_{n}

\sum b_{n}

\sum a_{n}

Un criteriu pentru convergența seriilor cu termeni monoton descrescători

Lasă . Atunci seria converge dacă și numai dacă seria converge $a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant a_{3}\geqslant ...\geqslant 0$ $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n}$ $\sum _{{k=0}}^{{\infty }}2^{{k}}a_{{2^{k}}}=a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+ 8a_{8}+...$

Dovada

Denota:

$s_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$

$t_{k}=a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+...+2^{{k}}a_{{{2^{k}}}$

Deoarece convergența unei serii cu termeni nenegativi este echivalentă cu mărginirea șirului sumelor sale parțiale, este suficient să arătăm că și sunt mărginite sau nemărginite simultan. $s_{n}$ $t_k$

Când avem $n<2^{k}$

$s_{n}\leqslant a_{1}+(a_{2}+a_{3})+...+(a_{{2^{k}}}+...+a_{{2^{{ k+1}}-1}})\leqslant a_{1}+2a_{2}+...+2^{{k}}a_{{{2^{k}}}=t_{k}$

În acest fel, $s_{n}\leqslant t_{k}$

Pe de altă parte, când $n>2^{k}$

$s_{n}\geqslant a_{1}+a_{2}+(a_{3}+a_{4})+...+(a_{2^{k-1}+1}+. ..+a_{2^{k)))\geqslant {\frac {1}{2}}a_{1}+a_{2}+2a_{4}+...+2^{k-1} a_{2^{k}}={\frac {1}{2}}t_{k}$

Astfel, ambele secvențe și sau ambele sunt limitate, sau ambele nu sunt limitate. $2s_{n}\geqslant t_{k}$ $s_{n}$ $t_k$

Semne ale lui Cauchy și d'Alembert

Semnul lui d'Alembert

Rând $\sum a_{n}$

converge absolut dacă $\varlimsup _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|<1$
Diverge dacă $\varliminf _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|>1$
Există atât serii convergente, cât și serii divergente pentru care $\varliminf _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|\leqslant 1\leqslant \varlimsup _{{n\ spre \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|$

Semnul Cauchy

Lăsați o serie și primiți-vă . Apoi $\sum a_{n}$ $\alpha =\varlimsup _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{|a_{n}|}}$

Dacă , atunci seria converge absolut $\alpha < 1$
Dacă , atunci seria diverge $\alpha >1$
Există atât serii convergente, cât și serii divergente pentru care $\alpha=1$

Afirmația despre convergența în semnele lui Cauchy și d'Alembert este derivată dintr-o comparație cu o progresie geometrică (cu numitori și respectiv), despre divergență - din faptul că termenul comun al seriei nu tinde spre zero. $\varlimsup _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|$ $\alfa$

Dacă semnul d'Alembert indică convergenţă, atunci semnul Cauchy indică convergenţă; dacă testul Cauchy nu ne permite să tragem o concluzie despre convergență, atunci testul d'Alembert nu ne permite să tragem nicio concluzie. Testul Cauchy este mai puternic decât testul d'Alembert deoarece există serii pentru care testul Cauchy indică convergenţă, iar testul d'Alembert nu indică convergenţă.

Testul integral Cauchy-Maclaurin

Să fie date o serie și o funcție astfel încât: $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n},a_{n}\geqslant 0$ $f(x):\mathbb{R} \la \mathbb{R}$

$f(x)$ descrescand nestrict monoton: $x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geqslant f(x_{2})$
$\forall \ n:\ f(n)=a_{n}$

Apoi seria și integrala converg sau diverg simultan și $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n}$ $\int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx$ $\forall k\geqslant 1\ \sum _{{n=k}}^({\infty }}a_{n}\geqslant \int \limits _{k}^({\infty }}f(x)dx \geqslant \sum _{{n=k+1}}^{{\infty }}a_{n}$

Semnul lui Raabe

Lasă seria și să fie dat . $\sum a_{n}$ $a_{n}>0$ $R_{n}=n\stânga({\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-1\dreapta)$

Dacă , atunci seria converge $\varliminf _{{n\to \infty }}R_{n}>1$
Dacă , atunci seria diverge $\varlimsup _{{n\to \infty }}R_{n}\leqslant 1$
Există atât serii convergente, cât și serii divergente pentru care $\varliminf _{{n\to \infty }}R_{n}\leqslant 1\leqslant \varlimsup _{{n\to \infty }}R_{n}$

Semnul Raabe se bazează pe comparație cu seria armonică generalizată

Acțiuni de rând

Dacă ambele serii converg absolut, atunci suma lor converge absolut . $\sum a_{n}$ $\sum b_{n}$ $\sum (a_{n}+b_{n})$
Dacă cel puțin una dintre serii converge absolut, atunci produsul lor Cauchy converge, dar dacă ambele serii converg absolut, atunci produsul lor converge absolut $\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=0}}^{\infty }b_{n}$ $\sum c_{n},c_{n}=\sum _{{k=0}}^{n}a_{k}b_{{nk}}$
O serie converge absolut dacă și numai dacă fiecare dintre permutările sale converge. Mai mult, toate permutările unei serii absolut convergente converg către aceeași sumă.

Exemple

Să luăm în considerare o serie . Pentru acest rând: ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}} }+{\frac {1}{2^{3}}}+...$

$\varliminf _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}\left({\ frac {2}{3}}\right)^{n}=0$
$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {2n}]{{ \frac {1}{2^{n}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}$
$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}\left({\ frac {3}{2}}\right)^{n}=+\infty$

Astfel, testul Cauchy indică convergență, în timp ce testul d'Alembert nu permite să se tragă nicio concluzie.

Luați în considerare serialul $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}2^{{n-(-1)^{n}}}$

$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {2 ^{{n+1+1}}}{2^{{n-1}}}}=8$
$\varliminf _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {2 ^{{n+1-1}}}{2^{{n+1}}}}={\frac {1}{2}}$
$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}2{\sqrt[ {n}]{ 2^{{(-1)^{n}}}}}}=2$

Astfel, testul Cauchy indică divergență, în timp ce testul d'Alembert nu permite să se tragă nicio concluzie.

Seria converge la și diverge la , totuși: $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {1}{n^{\alpha }}}$ $\alpha >1$ $\alpha \leqslant 1$

$\varliminf _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}\left({\ frac {n}{n+1}}\right)^{\alpha }=1$
$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}n^{{\alpha /n}} =1$
$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}\left({\ frac {n}{n+1}}\right)^{\alpha }=1$

Astfel, semnele lui Cauchy și d'Alembert nu ne permit să tragem nicio concluzie.

Seria converge condiționat conform testului Leibniz , dar nu absolut, deoarece seria armonică diverge. $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}\left|{\frac {(-1)^{n}}{n}}\right|=\sum _{{n=1} }^{{\infty }}{\frac {1}{n}}$

Convergența absolută a integralelor improprie de primul fel

Definiție

O integrală improprie de primul fel se numește absolut convergentă dacă integrala converge . $\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}f(x)dx$ $\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}|f(x)|dx$

Proprietăți

convergenţa integralei implică convergenţa integralei . $\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}|f(x)|dx$ $\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}f(x)dx$
Pentru a identifica convergența absolută a unei integrale improprie de primul fel, se folosesc semnele de convergență a integralelor improprie ale primului fel de funcții nenegative.
Dacă integrala diverge, atunci semnele Abel și Dirichlet pot fi folosite pentru a identifica convergența condiționată a integralei improprie de primul fel . $\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}|f(x)|dx$

Convergența absolută a integralelor improprie de al doilea fel

Definiție

Fie definit și integrabil pe , nemărginit în vecinătatea stângă a punctului . O integrală improprie de al doilea fel se numește absolut convergentă dacă integrala converge . $f(x)$ $[a;b-\varepsilon \ ]\quad \forall \varepsilon \ \in (0;ba)$ $b$ $\int \limits _{{a}}^{{b}}f(x)dx$ $\int \limits _{{a}}^{{b}}|f(x)|dx$

Proprietăți

convergenţa integralei implică convergenţa integralei . $\int \limits _{{a}}^{{b}}|f(x)|dx$ $\int \limits _{{a}}^{{b}}f(x)dx$
Pentru a identifica convergența absolută a unei integrale improprie de al doilea fel, se folosesc semnele de convergență a integralelor improprie de al doilea fel de funcții nenegative.
Dacă integrala diverge, atunci semnele Abel și Dirichlet pot fi folosite pentru a identifica convergența condiționată a integralei improprie de al doilea fel . $\int \limits _{{a}}^{{b}}|f(x)|dx$

Surse

Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Manual de matematică. - Ed. al 7-lea, stereotip. - M . : Editura de stat de literatură tehnică şi teoretică, 1967. - S. 296.

Vezi și

Dicționare și enciclopedii	mare danez