Semnul lui Raabe

Semnul Raabe ( semnul Raabe-Duhamel ) este un semn de convergență a seriei numerice semn-pozitive , stabilit în 1832 de Joseph Ludwig Raabe [ 1] și independent în 1839 de Jean-Marie Duhamel [2] .

Formulare

Seria converge dacă, pentru suficient de mare , inegalitatea $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n$

R_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-1\right)\geqslant r,

unde . $r>1$

Dacă , pornind de la unele , atunci seria diverge. $R_{n}\leqslant 1$ $n$ $un$

Dacă există o limită:

R=\lim _{{n\to \infty }}R_{n}

apoi pentru , seria converge, iar pentru , diverge. $R>1$ $R<1$

Cometariu. Dacă , atunci criteriul Raabe nu răspunde la întrebarea despre convergența seriei. $R=1$

Dovada se bazează pe utilizarea criteriului de comparare a relațiilor în comparație cu o serie armonică generalizată.

Căci criteriul în forma limitativă dă 2, ceea ce înseamnă convergența seriei. $\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{2n}$

Testul de convergență d'Alembert este un test similar bazat pe raportul dintre termenii vecini.

↑ JL Raabe. Untersuchungen über die Convergenz und Divergenz der Reihen (germană) // Zeitschrift für Physik und Mathematik. - 1832. - Bd. 10 . - S. 41-74 .
↑ M. Duhamel. Nouvelle règle pour la convergence des séries (franceză) // J. de mathématiques pures et appliquées. - 1839. - Vol. 4 . - P. 214-221 .

Arkhipov, G. I., Sadovnichiy, V. A., Chubarikov, V. N. Prelegeri de analiză matematică: Manual de universități și ped. universități / Ed. V. A. Sadovnichy. - M . : Şcoala superioară , 1999. - 695 p. - ISBN 5-06-003596-4 . .
I. M. Vinogradov. Semnul Raabe // Enciclopedia matematică. — M.: Enciclopedia Sovietică . - 1977-1985. (Rusă)

Semne de convergență a seriei
Pentru toate rândurile	Stare necesară Criteriul Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Pentru serii cu semn pozitiv	Criteriul principal Semn de comparație semn Kummer semnul Gauss Semnul radical al lui Cauchy Caracteristica integrală Semnul lui D'Alembert semn de putere semn logaritmic Semnul lui Raabe semn Bertrand Semnul lui Jamet Semnul lui Schlömilch Semnul lui Ermakov Semnul lui Lobaciovski semn telescopic Semnul lui Sapogov
Pentru serii alternate	semnul Leibniz
Pentru rândurile formularului $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	semnul Abel Semnul lui Dedekind semn Dubois-Reymond Semnul Dirichlet
Pentru serii funcționale	semn Weierstrass
Pentru seria Fourier	semn Dini Semnul lui de la Vallée Poussin semn Iordan Semnul Jung Semnul Salem Semnul Lebesgue Semnul Lebesgue-Gergen Semnul lui Martsinkevich