Algebră alternativă
O algebră alternativă este o algebră peste un câmp în care înmulțirea este alternativă [1] . Fiecare algebră asociativă este în mod evident alternativă, totuși există și algebre alternative non-asociative, dintre care octavele sunt un exemplu . O generalizare a octavelor, sedenions , nu mai au proprietatea de alternativitate.
Legătura cu algebra Maltsev
Pentru algebra alternativă și algebra Maltsev , există un analog al teoremei Poincaré-Birkhoff-Witt . Există următoarea relație între algebrele alternative și algebrele Maltsev: înlocuirea înmulțirii g(A,B) într-o algebră alternativă M cu operația comutatorului [A,B]=g(A,B)-g(B,A), îl transformă într-o algebră Maltsev .
Asociat
Folosind un asociat
![[x,y,z] = (xy)z - x(yz)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef1dd4cbc4e3e9a80e2ec6866d1294ef04efe97)
identitățile care definesc algebra alternativă iau forma [2]
![[x,x,y] = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a1374960ee08cdee5d041c68cab56a4997b5ea)
![[y,x,x] = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856eb0c9a06c9acba9f595cbf7d89a494e753918)
pentru orice elemente si De aici, datorita multiliniaritatii asociatului, este usor de obtinut ca
![[x,y,z] + [y,x,z] = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46c4174c40b512f80e585cd9a5b199e49ff9954)
![[x,y,z] + [x,z,y] = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bfd67742634b472c30237b7d7c159eb5cbdf8d8)
Astfel, în algebra alternativă, asociatorul este o operație alternativă:
![[x,y,z] = \mathrm{sgn}\,\sigma [\sigma(x),\sigma(y),\sigma(z)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0099d89046d5801047a1a8186681d752286a2087)
unde - permutarea elementelor - paritatea acestei permutări. Este adevărat și invers: dacă asociatul este alternativ, atunci inelul este alternativ. Din cauza conexiunii cu alternativitatea asociatului, inelele alternative au primit un astfel de nume.
În mod similar, se poate demonstra că pentru ca un asociator să fie alternativ, este suficient ca oricare dintre următoarele identități să fie valabile:
de unde urmează imediat a treia dintre identităţi.
Note
- ↑ „Enciclopedia matematică” / Redactor șef I. M. Vinogradov. - M . : „Enciclopedia Sovietică”, 1979. - T. 2. - 1104 p. - (51 [03] M34). - 148.800 de exemplare.
- ↑ Zhevalkov K.A., Slinko A.M., Shestakov I.P., Shirshov A.I., „Inele apropiate de asociativ” M.: Nauka, 1978. Capitolul 2, Paragraful 3. pp. 49-55 .
Literatură
- Skornyakov L. A., Shestakov I. P. . Capitolul III. Inele și module // Algebră generală / Ed. ed. L. A. Skornyakova . - M . : Science , 1990. - T. 1. - S. 291-572. — 592 p. — (Bibliotecă matematică de referință). — 30.000 de exemplare. — ISBN 5-02-014426-6 .
- Schafer, Richard D. O introducere în algebrele nonasociative (engleză) . - New York: Dover Publications , 1995. - ISBN 0-486-68813-5 .