Matrice alternativă

Matrice alternantă [1] [2] ( în engleză Alternant matrix ) - în algebră liniară, o matrice cu un tip special de dimensiune , specificată folosind elemente și funcții astfel încât fiecare element al matricei [3] sau, în formă extinsă: $m\ori n$ $m$ $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{m}$ $n$ $f_{1},f_{2},\dots f_{n}$ $M_{{i,j}}=f_{j}(\alpha _{i})$

M={\begin{bmatrix}f_{1}(\alpha _{1})&f_{2}(\alpha _{1})&\dots &f_{n}(\alpha _{1})\\f_ {1}(\alpha _{2})&f_{2}(\alpha _{2})&\dots &f_{n}(\alpha _{2})\\f_{1}(\alpha _{3 })&f_{2}(\alpha _{3})&\dots &f_{n}(\alpha _{3})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}(\ alpha _{m})&f_{2}(\alpha _{m})&\dots &f_{n}(\alpha _{m})\\\end{bmatrix}}

Uneori, matricea alternativă este definită în formă transpusă .

Exemple și utilizări ale matricilor alternative

Un caz special comun și care apare frecvent al unei matrice alternative este matricea Vandermonde . Matricea alternativă ia această formă la . (Unii autori numesc alternativa matricei Vandermonde [4] [5] .) Un caz special mai rar al unei matrice alternative este matricea Moore $f_{i}(\alpha )=\alpha ^{{i-1}}$ , în care . $f_{i}(\alpha )=\alpha ^{{q^{{i-1}}}}$

Mai general, matricele alternative sunt aplicate în teoria codificării .

Proprietăți ale matricelor alternative

Dacă matricea alternativă originală este pătrată și dacă toate funcțiile sunt polinomiale , atunci în condiția pentru toți determinanții matricei alternative este egală cu zero și, prin urmare, este un divizor al determinantului unei astfel de matrice alternative pentru orice , satisfacerea conditiei . Prin urmare, determinantul Vandermonde $f_{j}(x)$ $\alpha _{i}=\alpha _{j}$ $i<j$ $(\alpha _{j}-\alpha _{i})$ $i,j$ $1\leq i<j\leq n$

V={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\dots &\alpha _{1}^{{n-1}}\\1&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{ 2}^{{n-1}}\\1&\alpha _{3}&\dots &\alpha _{3}^{{n-1}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{n}&\dots &\alpha _{n}^{{n-1}}\\\end{bmatrix}}

egal este, de asemenea, un divizor al determinanților unor astfel de matrici alternative. Relația poartă denumirea specială „ bialternant ”. $\prod _{{i<j}}(\alpha _{j}-\alpha _{i})$ ${\frac {\det M}{\det V))$

De remarcat, de asemenea, că în cazul în care , obținem definiția clasică a polinoamelor Schur . $f_{j}(x)=x^{{m_{j}}}$

Vezi și

Literatură

AC Aitken. Determinanți și matrici. — ediția a 9-a. - Edinburgh: Oliver and Boyd Ltd, 1956. - S. 111-123. — 144 p.
Richard P Stanley. Combinatorică enumerativă. - Cambridge University Press, 1999. - V. 2. - S. 334-342. — ISBN 0521560691 .
Thomas Muir . Un tratat de teoria determinanților. - Mineola, NY: Dover Publications, 2003. - P. 321-363. — 766 p. — ISBN 0486495531 .

Note

↑ matrice alternantă // Dicționar mare englez-rus și rus-englez . — 2001. (Rusă)
↑ Matrice alternativă . Multitran.ru. Consultat la 17 noiembrie 2012. Arhivat din original pe 10 noiembrie 2014. (nedefinit)
↑ A.C. Aitken. Determinanți și matrici. — ediția a 9-a. - Edinburgh: Oliver and Boyd Ltd, 1956. - S. 112. - 144 p.
↑ Hrishikesh D. Vinod. Algebră matriceală practică folosind R: învățare activă și motivată cu aplicații. - Singapore: World Scientific, 2011. - P. 290. - 329 p. — ISBN 9814313688 .
↑ Marvin Marcus, Henryk Minc. Un studiu al teoriei matriceale și al inegalităților matriceale . - New York: Dover, 1992. - P. 15 . — 180 s. — ISBN 048667102X .