Asociat
Un asociator în algebra generală este o mapare triliniară peste un inel (nu neapărat asociativ) , definită prin formula:
.
![[x,y,z] = (xy)z - x(yz)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef1dd4cbc4e3e9a80e2ec6866d1294ef04efe97)
La fel cum un comutator măsoară „gradul de non-comutativitate” al unui inel, un asociator măsoară „gradul de non-asociativitate”. Și anume, asociatorul a trei elemente este egal cu zero dacă și numai dacă înmulțirea lor într-o ordine dată este asociativă . Dacă asociatorul tuturor elementelor unui inel este 0, atunci inelul este asociativ .
Proprietăți
În orice inel, asociatul are următoarea identitate:
.![{\displaystyle w[x,y,z]+[w,x,y]z=[wx,y,z]-[w,xy,z]+[w,x,yz]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38c2f27a59cd127f169c123c6a95aa2323de5bd)
Un inel este alternativ dacă și numai dacă asociatul său este alternativ , adică:
,![{\displaystyle [x_{1},x_{2},x_{3}]=\operatorname {sgn} \sigma [x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e00471140b719ac13b2b1b7eac49a2b3f6eb587)
unde este o permutare a trei elemente și este paritatea acestei permutări.
Teoria categoriilor
În teoria categoriilor, un asociator este un izomorfism:
.
Produsul de aici este înțeles în sensul produsului din categoria monoidală .
Literatură
- Skornyakov L. A., Shestakov I. P. . Capitolul III. Inele și module // Algebră generală / Ed. ed. L. A. Skornyakova . - M . : Science , 1990. - T. 1. - S. 291-572. — 592 p. — (Bibliotecă matematică de referință). — 30.000 de exemplare. — ISBN 5-02-014426-6 .