Funcția beta

În matematică , funcția beta ( funcția -, funcția beta Euler sau integrala Euler de primul fel) este următoarea funcție specială a două variabile: $\mathrm{B}$

\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,

definit la , . $\operatorname {Re} x>0$ $\operatorname {Re} y>0$

Funcția beta a fost studiată de Euler , Legendre[ când? ] , iar numele i-a fost dat de Jacques Binet .

Proprietăți

Funcția beta este simetrică în raport cu permutarea variabilelor, adică.

\mathrm {B} (x,y)=\operatorname {\mathrm {B} } (y,x).

Funcția beta poate fi exprimată în termeni de alte funcții:

\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y))),

unde este funcția gamma ; $\gamma (x)$

\mathrm {B} (x,y)=2\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\quad \operatorname {Re} x>0,\ \operatorname {Re} y>0;

\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y }}}\,dt,\quad \operatorname {Re} x>0,\ \operatorname {Re} y>0;

\mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {( y)_{n+1}}{n!(x+n)}},

unde factorialul descendent este egal cu . $(x)_{n}$ $x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot \ldots \cdot (x-n+1)$

La fel cum funcția gamma pentru numere întregi este o generalizare a factorialului , funcția beta este o generalizare a coeficienților binomi cu parametri ușor modificați:

{\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1))).

Funcția beta satisface ecuația diferenței bidimensionale :

\mathrm {B} (x,y)-\mathrm {B} (x+1,y)-\mathrm {B} (x,y+1)=0.

Derivate

Derivatele parțiale ale funcției beta sunt următoarele:

{\frac {\partial }{\partial x}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(x) }{\Gamma (x)))-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)))\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (x)-\psi (x+y){\big )},

{\frac {\partial }{\partial y}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(y) }{\Gamma (y)))-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)))\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (y)-\psi (x+y){\big )},

unde este funcția digamma . $\psi(x)$

Funcție beta incompletă

O funcție beta incompletă este o generalizare a funcției beta care înlocuiește integrala de interval cu o integrală cu o limită superioară variabilă: $[0, 1]$