Funcție analitică reală

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 10 iulie 2022; verificările necesită 3 modificări .

O funcție analitică reală este o funcție reală care poate fi reprezentată în vecinătatea fiecărui punct printr-o serie de puteri . Definiție echivalentă: o funcție reală care este egală cu seria sa Taylor în vecinătatea fiecărui punct al domeniului de definiție [1] .

Definiție

Fie definit într- un punct interior al domeniului său de definire . O funcție se numește analitică într-un punct dacă într-o vecinătate a acestui punct poate fi reprezentată printr-o serie de puteri cu centrul în acest punct. Aceasta înseamnă că într-o apropiere a punctului funcția este reprezentată ca $f\colon G\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ $a\în G$ $f$ $A$ $A$ $f$

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(xa)^{n)

[1] .

Această definiție poate fi generalizată în cazul unei funcții de mai multe variabile . Să fie acum o funcție a mai multor variabile, să fie un punct interior al domeniului de definiție. O funcție se numește analitică într-un punct dacă într-o vecinătate a acestui punct poate fi reprezentată printr-o serie de puteri multiple cu centrul în acest punct, adică este reprezentată ca $f\colon G\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ $a\în G$ $f$ $A$

f(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots,i_{n}=0}^{\infty }b_{i_{1}, \ldots ,i_{n}}(x_{i_{1}}-a_{i_{1}})^{i_{1}}\ldots (x_{i_{n}}-a_{i_{n}} )^{i_{n}}

[2] .

O funcție vectorială se numește analitică într-un punct dacă toate componentele sale sunt analitice în acel punct. [3] $f\colon G\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m)$ $a\în G$

O funcție se numește analitică pe o mulțime deschisă dacă este analitică în fiecare punct al acestei mulțimi. Mulțimea tuturor funcțiilor analitice pe o mulțime deschisă se notează [4] . $f$ $G$ $G$ $C^{\omega }(G)$

O funcție se numește analitică dacă este analitică în domeniul său de definiție. [3] $f$

Seria Taylor

Dacă o funcție a unei variabile este extinsă în vecinătatea unui punct dintr-o serie de puteri , atunci în acest punct are derivate de toate ordinele și coeficienții acestei serii sunt calculați prin formula: $A$ $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(xa)^{n)$

b_{n}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}

Astfel, în vecinătatea punctului $A$

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!)}}(xa)^{n}

[5]

În mod similar, pentru o funcție a mai multor variabile în punctul de analiticitate , există derivate parțiale mixte de toate ordinele și $A$

b_{i_{1},\ldots ,i_{n}}={\frac {1}{i_{1}!\ldots i_{n}!}}{\frac {\partial ^{i_{ 1}+\ldots +i_{n}}f(a)}{\partial x_{1}^{i_{1}}\ldots \partial x_{n}^{i_{n}}}}

Apoi în vecinătatea punctului $A$

f(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {1}{ i_{1}!\ldots i_{n}!}}{\frac {\partial ^{i_{1}+\ldots +i_{n}}f(a)}{\partial x_{1}^{i_ {1}}\ldots \partial x_{n}^{i_{n}}}}(x_{i_{1}}-a_{i_{1}})^{i_{1}}\ldots (x_{ i_{n}}-a_{i_{n}})^{i_{n}}

[6]

Aceste formule sunt derivate trivial prin diferențierea serii de puteri.

Pentru ca o serie de puteri cu astfel de coeficienți să fie definită, este suficientă existența derivatelor de toate ordinele la un punct. Acest lucru nu implică deloc analiticitatea funcției: o astfel de serie poate să nu coincidă cu funcția în nicio vecinătate a punctului sau, în general, să convergă numai în punctul însuși . Această serie, indiferent dacă converge undeva către funcția sa, se numește seria Taylor a funcției într-un punct . [7] Astfel, analiticitatea implică existența unei serii Taylor, dar analiticitatea nu rezultă din existența unei serii Taylor. $A$ $f$ $A$

Definiția echivalentă a analiticității se bazează pe conceptul unei serii Taylor:

O funcție se numește analitică într-un punct interior al domeniului de definiție dacă, în apropierea acestui punct, funcția coincide cu seria sa Taylor. [unu]

f

A

Următoarele exemple arată funcții care au o serie Taylor într-un punct, dar nu sunt analitice:

$g(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x^{2}}})&x\neq 0;\\0&x=0.\end{cases)}$

Se poate demonstra că această funcție este infinit diferențiabilă la zero și toate derivatele ei sunt egale cu zero. Seria Taylor la puncte are forma

0

\sum _{n=0}^{\infty}0\cdot x^{n)

. Seria Taylor converge în vecinătatea punctului , dar în nici o vecinătate a acestuia nu este egală cu funcția [7] .

0

g(x)

$h(x)=\sum _{n=0}^{\infty}e^{-n}\cos {n^{2}x)$

Seria lui Taylor la punct converge numai la punctul . Nu converge în nicio vecinătate de zero și nu are sens să vorbim despre egalitatea funcției sale. [opt]

0

0

h(x)

Aceste exemple arată că existența și chiar convergența seriei Taylor într-o anumită vecinătate nu sunt suficiente pentru ca funcția să fie analitică.

Proprietăți

Orice funcție analitică este infinit diferențiabilă , dar nu orice funcție infinit diferențiabilă este analitică. Exemplele de mai sus pot servi ca exemple de funcții infinit diferențiabile, dar nu analitice, deoarece în cazul unidimensional existența seriei Telor este echivalentă cu diferențiabilitatea infinită. Cu alte cuvinte, există o includere strictă:

C^{\omega}(G)\subset C^{\infty}(G)

[7] .

Analiticitatea pentru fiecare variabilă separat nu implică analiticitatea în ansamblu [9] . Acest fapt este o diferență față de cazul complex, în care, conform teoremei Hartogs , analiticitatea față de fiecare variabilă separat implică analiticitatea în ansamblu.

Operații pe funcții analitice

Proprietățile pot fi aplicate atât analiticității la un punct, cât și analiticității pe un set deschis.

O combinație liniară de funcții analitice este analitică.
Produsul funcțiilor analitice este analitic.
Împărțirea funcțiilor analitice va fi analitică pe o mulțime deschisă dacă divizorul nu ia valoarea nicăieri în această mulțime . Pentru analiticitatea într-un punct, este necesar ca divizorul să nu se întoarcă în nicio vecinătate a acestui punct. $0$ $0$
Compoziția funcțiilor analitice este analitică. Acesta este înțeles în următorul sens: dacă este analitic în , analitic în , atunci este analitic în . Pentru mulțimi, poate fi formulat astfel: dacă este analitic pe mulțime , analitic în fiecare punct al , atunci este analitic pe . $g$ $A$ $f$ $g(a)$ $f\circ g$ $A$ $g$ $A$ $f$ $g(A)$ $f\circ g$ $A$
O derivată de orice ordin pentru o funcție analitică a unei variabile este, de asemenea, analitică. Derivatele parțiale de orice ordin a unei funcții analitice a mai multor variabile sunt analitice.
Antiderivata unei funcții analitice a unei variabile este analitică. Pentru cazul mai multor variabile, se poate generaliza această proprietate luând în considerare antiderivată față de una dintre variabile.
Proprietatea anterioară poate fi formulată în termeni de integrale cu limită superioară a variabilei. Fie o funcție a unei variabile să fie analitică pe o mulțime deschisă , . $f$ $A$ $a\în A$

Apoi este analitic pe . Pentru funcțiile mai multor variabile, din nou se poate considera pur și simplu integrala numai asupra uneia dintre variabile.

\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt

A

Serii Taylor la punctele rezultate ale operațiilor pot fi obținute prin efectuarea operațiilor corespunzătoare pe serii: înmulțirea serii de puteri, împărțirea, compoziția, diferențierea și integrarea termen cu termen și așa mai departe. Cu unele dintre aceste operații, razele de convergență ale seriei se pot modifica [3] .

Analiticitate pe platou

Dacă o funcție este reprezentată pe o mulțime deschisă printr-o serie de puteri (indiferent în ce punct este centrată), atunci ea este analitică în fiecare punct al acestei mulțimi. [6] Dar nu funcționează invers. Analiticitatea pe o mulțime nu înseamnă deloc că o funcție poate fi reprezentată printr-o singură serie de puteri pe toată această mulțime, chiar dacă această mulțime poate fi un domeniu de convergență al unei serii de puteri sau poate fi cuprinsă într-una. Înseamnă doar reprezentabilitatea într-o anumită vecinătate a fiecărui punct, în plus, în rânduri diferite. Exemplul standard este funcția . Este analitică pe întreaga dreaptă numerică: în vecinătatea oricărui punct, această funcție poate fi reprezentată ca o serie de puteri centrată în acel punct. La un moment dat , acesta va fi următorul: $f$ $f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$ $0$

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{2n)

Intervalul de convergență al acestei serii este . În acest interval, seria converge către funcția sa. Cu toate acestea, seria diverge la punctele și , în ciuda faptului că funcția este și analitică în acele puncte. Se pot arăta și mai multe: nicio serie de puteri în niciun punct nu poate reprezenta complet această funcție, doar într-un anumit interval. [zece] $(-1;1)$ $x>1$ $x<-1$

O funcție analitică într-un punct poate să nu coincidă cu seria sa Taylor pe întreaga sa regiune de convergență, ci doar într-o anumită parte (de exemplu, pentru funcțiile pe bucăți). Totuși, dacă într-un anumit subdomeniu al regiunii de convergență a seriei Taylor într-un punct funcția este analitică și acest subdomeniu conține punctul , atunci funcția va coincide cu seria specificată în acest subdomeniu. [unsprezece] $A$ $f(x)$ $A$ $A$

Funcții inverse și implicite

Pentru funcțiile analitice, există analogi ai teoremei funcției implicite și inverse.

Teorema funcției inverse . Fieeste analitică într-un punctși jacobianul în acest punct nu este egal cu zero. Apoi, într-o apropierea punctului, există o funcție inversă unicăși este analitică în. [12] $f\colon G\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n)$ $a\în G$ $U$ $A$ $f^{-1}\colon f(U)\rightarrow U$ $fa)$
Teorema funcției implicite . Fieanalitic la punctulși. Apoi ecuațiadefinește o funcție analitică implicităîntr-o vecinătate a punctului. Aceasta înseamnă că pentru o anumită vecinătate a unui punctforma, undeeste o vecinătate a unui punctîn, șieste o vecinătate a unui punctîn, se poate defini în mod unic o funcțieastfel încât, și va fi analitică la punctul. [12] $F\colon G\subset \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{m)$ $(a,b)\în G$ ${\bigg |}{\frac {\partial F}{\partial y}}(a){\bigg |}\neq 0$ $F(x,y)=F(a,b)$ $y = f(x)$ $(a,b)$ $(a,b)$ $U=U_{x}\times U_{y}$ $U_x$ $A$ $\mathbb {R} ^{n}$ $U_{y)$ $b$ $\mathbb{R} ^{m}$ $f\colon U_{x}\rightarrow U_{y)$ $F(x,y)=F(a,b)\Leftrightarrow y=f(x)\\forall (x,y)\in U$ $A$

Aceste teoreme ne permit să spunem că, în anumite condiții, funcția implicită și inversul unei funcții analitice vor fi analitice. Folosind teoreme, se poate demonstra analiticitatea pentru funcții inverse și implicite deja găsite, folosind unicitatea acestora.

Analiticitatea funcției inverse . Fie ca bijecția domeniilor să fie analitică și jacobianul său să nu fie egal cu zero nicăieri - inversul său. Atunci este analitic. Seria Taylor pentru funcția inversă poate fi calculată folosind formula de inversare a seriei. $f\colon G\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow H\subset \mathbb {R} ^{n)$ $f^{-1}\colon H\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow G\subset \mathbb {R} ^{n)$ $f^{-1}$
Analiticitatea unei funcţii implicite . Fie o funcție analitică în domeniu și fie jacobianul în toate punctele să fie diferit de zero. este o funcţie implicită definită în domeniu şi dată de o ecuaţie în sensul că . Atunci este analitic. $F\colon G\subset \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{m)$ $G$ $y$ $f\colon H\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m)$ $H$ $F(x,y)=0$ $F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)\\forall (x,y)\in U$ $f$

Continuare analitică

Să fie definită o funcție într-un domeniu și să fie analitică asupra acesteia. Se poate întâmpla ca la un moment dat regiunea de convergență a seriei Taylor să depășească regiunea . Apoi funcția poate fi extinsă în această regiune prin valorile corespunzătoare ale seriei Taylor. Este posibil ca în noi puncte domeniul de convergență să depășească din nou domeniul definiției, iar funcția să poată fi din nou continuată. O astfel de procedură se numește continuare analitică [1] . Mai formal: $f$ $G$ $G$

Fie definit într-un domeniu și analitic pe acesta, definit într-un domeniu și analitic pe acesta și pe . Apoi spunem că este o continuare analitică a .

f

F

g

G

G\subset F

f=g

G

f

g

Pentru orice funcție analitică din domeniu, există o continuare analitică maximă. Toate celelalte extensii analitice sunt obținute prin restrângerea maximului la domeniul lor de definiție, iar maximul este unirea tuturor extensiilor analitice. [13] Astfel, continuările analitice diferite nu pot da valori diferite la un moment dat, indiferent prin ce regiuni le continuăm. Aceasta este fundamental diferită de continuarea analitică în analiza complexă, care poate da valori diferite atunci când continuarea analitică pe căi diferite, motiv pentru care apar astfel de construcții precum funcțiile analitice cu mai multe valori.

Folosind continuarea analitică, se poate restabili întreaga funcție din valorile sale într-un anumit interval, chiar dacă seria Taylor nu converge peste tot. Cu toate acestea, de exemplu, funcția nu poate fi restabilită în acest fel. Cunoașterea valorilor la un anumit interval în interiorul acestuia poate fi restabilită numai până la întregul interval , dar nu mai departe. Valorile la diferite intervale ale domeniului de definiție nu sunt legate. Pentru a restabili complet funcția, este necesară ieșirea în planul complex. Continuarea analitică reală nu poate restaura multe funcții pe care cea complexă le poate restaura. ${\frac {1}{1+x^{2)}}$ ${\frac {1}{1-x^{2)}}$ $(-1;1)$ $(-1;1)$

Cercetări privind analiticitatea

O modalitate de a demonstra analiticitatea reală a unei funcții este trecerea la domeniul complex. Testul de analiticitate pentru funcțiile unei variabile complexe este mult mai simplu și se reduce la examinarea funcției pentru diferențiabilitate.

O funcție reală este analitică pe o mulțime deschisă dacă și numai dacă termenul său rămas din formula Taylor tinde la zero pe întreaga mulțime. [14] Reprezentând acest termen în forma Cauchy sau într-o altă formă, se poate examina pentru convergența la zero și se poate obține un răspuns despre analiticitatea funcției.

Următorul criteriu de analiticitate este derivat din metoda anterioară:

Fie derivatele tuturor ordinelor unei funcții ale unei variabile dintr-o mulțime deschisă să fie mărginite în agregat, adică există astfel încât

f

M>0

|f^{(n)}(x)|\leq M

, si nu depinde de ordinea derivatei sau de punct . Atunci funcția este analitică pe această mulțime [15] .

M

X

Slăbind ușor această condiție, se poate obține criteriul analiticității . Criteriul de analiticitate este formulat pentru analiticitate la un punct.

Fie că pentru un punct există un interval , pe care funcția unei variabile este definită și , și, de asemenea, există numere și astfel încât

A

J

f

a\in J

C>0

R>0

|f^{(n)}(x)|\leq C\cdot {\frac {n!}{R^{n))}

. Atunci funcția este analitică în [13] .

A

Atât semnul cât și criteriul sunt generalizate la cazul funcțiilor mai multor variabile. Semnul este formulat după cum urmează.

Fie ca toate derivatele parțiale dintr-o mulțime deschisă să fie mărginite în agregat, adică există astfel încât

f

M>0

\left|{\frac {\partial ^{i_{1}+\ldots +i_{n}}f(x)}{\partial x_{1}^{i_{1}}\ldots \partial x_{n}^{i_{n}}}}\right|\leq M

. Atunci funcția din acest set este analitică.

Criteriul arată astfel.

Să existe o vecinătate pentru punctul în care este definită funcția și, de asemenea, există numere și astfel încât

A

J

f

C>0

R>0

\left|{\frac {\partial ^{i_{1}+\ldots +i_{n}}f(x)}{\partial x_{1}^{i_{1}}\ldots \partial x_{n}^{i_{n))))\right|\leq C\cdot {\frac {{(i_{1}+\ldots +i_{n})}!}{R^{i_{1 }+\ldots +i_{n}}}}

. Atunci funcția este analitică în [16] .

A

Exemple

Orice funcție polinomială .
Orice funcție rațională pe domeniul său de definiție.
Funcția exponențială , . $f(x)=a^{x)$ $a>0$
Rădăcinile aritmetice sunt analitice peste tot pe domeniul lor de definiție, cu excepția zero. Astfel, rădăcinile de gradul par sunt analitice pe , iar rădăcinile de gradul impar sunt analitice pe și . $(0;+\infty )$ $(-\infty ;0)$ $(0;+\infty )$
Funcții trigonometrice și hiperbolice .
Funcții trigonometrice și hiperbolice inverse în punctele interne ale domeniului lor de definiție.

Vezi și

funcționare lină

Note

↑ 1 2 3 4 Arkhipov, 1999 , p. 392.
↑ Steven, 2002 , p. 29.
↑ 1 2 3 enciclopedia de matematică reală .
↑ Steven, 2002 , p. 3.
↑ Steven, 2002 , p. zece.
↑ 12 Steven , 2002 , p. treizeci.
↑ 1 2 3 Kudryavtsev, 2004 , p. 116.
↑ Gelbaum, Olmstead, 1967 , p. 91.
↑ Steven, 2002 , p. 105.
↑ Şabatul, 1967 , p. 7.
↑ Steven, 2002 , p. paisprezece.
↑ 12 Steven , 2002 , p. 47.
↑ 12 Steven , 2002 , p. cincisprezece.
↑ Kudryavtsev, 2004 , p. 118.
↑ Kudryavtsev, 2004 , p. 120.
↑ Steven, 2002 , p. 34.

Literatură

Funcție analitică reală . Enciclopedia de matematică . Preluat: 26 ianuarie 2022. (nedefinit)
Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V.A. , Chubarikov V.N. Prelegeri de analiză matematică / Ed. V. A. Sadovnichy. - Ed. I. - M . : Şcoala superioară , 1999. - 695 p. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudryavtsev L. D. Curs de analiză matematică. În 3 volume. Volumul 2 . - M . : Butard, 2004. - 720 p. (Rusă)
Gelbaum B., Olmsted J. Contraexemple în analiză. — M .: Mir , 1967 . — 251 p.
Shabat BV Introducere în analiza complexă. — M .: Nauka , 1969 . — 577 p.
Krantz, Steven; Parks, Harold R.Un primer al funcțiilor analitice reale (nedefinit) . — al 2-lea. — Birkhauser, 2002. - ISBN 0-8176-4264-1 .