Timp de cădere liberă

Timpul de cădere liberă este timpul caracteristic pentru ca un corp să se prăbușească sub influența gravitației , dacă nicio altă forță nu se opune prăbușirii. Joacă un rol important în determinarea scărilor de timp ale unui număr de procese astrofizice , cum ar fi formarea stelelor , exploziile de supernove .

Derivarea formulelor

Cădere pe o sursă punctuală de gravitație

Este ușor să se obțină o formulă pentru timpul de cădere liberă prin aplicarea celei de-a treia legi a lui Kepler la mișcarea unui obiect pe o orbită eliptică degenerată . Luați în considerare un punct de masă aflat la o distanță de o sursă punctuală de masă , pe care punctul cade de-a lungul razei. Formula a treia legii a lui Kepler depinde de semi-axa majoră și este independentă de excentricitate . Traiectoria radială este un exemplu de elipsă degenerată cu excentricitatea 1 și semiaxa majoră egală cu . Prin urmare, timpul necesar corpului pentru a cădea, a se întoarce și a reveni la poziția inițială este egal cu perioada de revoluție pe o orbită circulară cu rază : $m$ $R$ $M$ $m$ $R/2$ $R/2$

t_{\text{orbită}}={\frac {2\pi }{\sqrt {G(M+m)}}}\left({\frac {R}{2}}\right)^ {3/2}={\frac {\pi R^{3/2}}{\sqrt {2G(M+m)))}.

Pentru a explica de ce semi-axa majoră este , examinăm proprietățile orbitelor pe măsură ce elipticitatea crește. Prima lege a lui Kepler spune că orbita unei planete este o elipsă cu un focar situat în centrul de masă. În cazul unei mase foarte mici care cade pe o masă foarte mare, centrul de masă al sistemului este situat în interiorul corpului de masă . Odată cu creșterea elipticității, focalizarea elipsei se deplasează din ce în ce mai departe de centrul sistemului. În cazul limitativ al unei elipse degenerate cu o excentricitate egală cu unu, orbita se transformă într-un segment de la punctul de localizare inițial al obiectului ( ) până la punctul de localizare a masei . Cu alte cuvinte, elipsa se transformă într-un segment de lungime . Semi-axa majoră este jumătate din lungimea elipsei de-a lungul axei lungi; în acest caz, semiaxa majoră este . $R/2$ $M$ $M$ $R$ $M$ $R$ $R/2$

Dacă corpul în cădere ar face o orbită completă, atunci mișcarea ar începe la o distanță de corp , apoi corpul ar cădea spre corp , o va ocoli și se va întoarce la poziția inițială. În sistemele reale, o sursă punctuală nu este un punct și corpul care căde va experimenta o coliziune cu suprafața. În consecință, corpul în cădere va face doar o jumătate de revoluție pe orbita sa. Deoarece partea de orbită corespunzătoare căderii este simetrică cu partea de orbită de-a lungul căreia are loc revenirea ipotetică la punctul de plecare, atunci pentru a obține timpul de cădere liberă, este necesar să se împartă perioada de revoluție de-a lungul întregului orbita pe jumatate: $R$ $M$ $M$ $M$ $m$

t_{\text{ff}}=t_{\text{orbită}}/2={\frac {\pi }{2}}{\frac {R^{3/2}}{\sqrt { 2G(M+m)}}}

Rețineți că , în formulă, este timpul de cădere a masei de-a lungul unei orbite cu o excentricitate mare, în care se face o întoarcere rapidă în jurul centrului de atragere aproape la distanță zero de acesta și apoi revine la poziția inițială la o distanță , unde apare din nou o întoarcere rapidă. O astfel de orbită corespunde unei mișcări aproape rectilinie dintr-un punct aflat la distanță de centrul de atrage până la locația centrului de atrage. După cum sa menționat mai sus, semi-axa majoră a orbitei este egală cu jumătate din raza orbitei circulare corespunzătoare distanței . Perioada orbitei corespunde trecerii unui drum egal cu dublul valorii lui . Apoi, conform celei de-a treia legi a lui Kepler, ținând cont de faptul că semiaxa majoră este jumătate din raza unei orbite circulare, rezultă că perioada de revoluție pe o orbită alungită este (1/2) 3/2 = (1 ). /8) 1/2 din perioada de revoluție pe o orbită circulară, unde raza orbitei circulare este egală cu lungimea vectorului de rază maximă a orbitei prolate. $t_{\text{orbita}}$ $R$ $R$ $R$ $R$

Căderea pe o distribuție de masă sferic simetrică

Luați în considerare cazul în care nu este un punct, ci un corp extins simetric sferic cu o densitate medie , $M$ $\rho$

\rho ={\frac {3M}{4\pi R^{3}}}

unde este volumul sferei ${(4/3)\pi R^{3)).$

Să presupunem că singura forță care acționează este gravitația. Apoi, așa cum a arătat Newton și poate fi obținută prin aplicarea formulei Ostrogradsky-Gauss , accelerația într-un punct aflat la distanță de centrul masei de atragere depinde doar de masa totală conținută în interiorul sferei de rază . Consecința este următorul fapt: dacă un corp cu o distribuție de masă simetrică sferic este spart în cochilii sferice, atunci în timpul prăbușirii cochiliilor acestea vor cădea în așa fel încât fiecare ulterior să nu le traverseze pe cele anterioare atunci când se mișcă. De asemenea, timpul de cădere a unui punct de masă zero de la distanță poate fi exprimat în termeni de masă totală în interiorul unei învelișuri de rază : [1] $R$ $R$ $R$ $R$

t_{\text{ff}}={\sqrt {\frac {3\pi }{32G\rho }}}\simeq 0,5427{\frac {1}{\sqrt {G\rho }}}\ simeq 66430{\frac {1}{\sqrt {\rho ))}\,{\rm {\text{s))},

în ultima formulă, mărimile sunt exprimate în sistemul SI .

Note

↑ Structura stelară și evoluția Kippenhahn, Rudolf; Weigert, Alfred. Springer-Verlag, 1994, Ed. a III-a. p.257 ISBN 3-540-58013-1

Dinamica galactică Binney, James; Tremaine, Scott. Princeton University Press, 1987.