Axa majoră

Semi- axa majoră  este unul dintre principalii parametri geometrici ai obiectelor formate prin intermediul unei secțiuni conice.

Elipsa

Axa majoră a unei elipse este diametrul său cel mai mare - un segment care trece prin centru și două focare. Semi-axa majoră este jumătate din această distanță și trece de la centrul elipsei prin focalizare până la marginea acesteia.

La un unghi de 90 ° față de semiaxa majoră, este situată semiaxa minoră - distanța minimă de la centrul elipsei până la marginea acesteia. Într-un caz special al unei elipse - un cerc - semiaxele majore și minore sunt egale și sunt raze. Astfel, se pot considera semiaxele majore și minore ca un fel de raze de elipsă.

Lungimea semiaxei majore este legată de lungimea semiaxei minore prin excentricitate , parametru focal și distanță focală (jumătate de distanță dintre focare) , după cum urmează:

Semiaxa majoră este media aritmetică dintre distanțele de la orice punct al elipsei până la focarele sale.

Luând în considerare ecuația în coordonate polare , cu un punct la origine (polul) și o rază care începe din acel punct (axa polară):

Obținem valorile medii și și semi-axa majoră

Parabola

O parabolă poate fi obținută ca limită a unei secvențe de elipse, unde un focar rămâne constant, iar celălalt este retras la infinit, menținându-l constant. Astfel, și tind spre infinit, și mai repede decât .

Hyperbole

Semi- axa majoră a hiperbolei este jumătate din distanța minimă dintre cele două ramuri ale hiperbolei, pe laturile pozitive și negative ale axei (stânga și dreapta față de origine). Pentru o ramură situată pe partea pozitivă, semiaxa va fi egală cu:

Dacă o exprimăm în termeni de secțiune conică și excentricitate, atunci expresia va lua forma:

.

Linia care conține axa majoră a hiperbolei se numește axa transversală a hiperbolei . [unu]

Astronomie

Perioada orbitală

În mecanica cerească , perioada orbitală a corpurilor mici pe o orbită eliptică sau circulară în jurul unui corp central mai mare este calculată prin formula:

Unde:

 este dimensiunea semiaxei majore a orbitei  este parametrul gravitațional standard (produsul constantei gravitaționale și masa obiectului )

De remarcat că în această formulă, pentru toate elipsele, perioada de revoluție este determinată de valoarea semiaxei majore, indiferent de excentricitate.

În astronomie , semi-axa majoră, împreună cu perioada orbitală , este unul dintre cele mai importante elemente orbitale ale orbitei unui corp cosmic.

Pentru obiectele din Sistemul Solar, semi- axa majoră este legată de perioada orbitală prin a treia lege a lui Kepler .

Unde:

 este perioada orbitală în ani;  este semiaxa majoră în unități astronomice .

Această expresie este un caz special al soluției generale a problemei cu două corpuri a lui Isaac Newton :

Unde:

 este constanta gravitațională  este masa corpului central  este masa satelitului care orbitează în jurul lui. De regulă, masa satelitului este atât de mică în comparație cu masa corpului central încât poate fi neglijată. Prin urmare, făcând simplificări corespunzătoare în această formulă, obținem această formulă într-o formă simplificată, care este dată mai sus.

Orbita satelitului în jurul centrului de masă (baricentrul) comună cu corpul central este o elipsă. Semiaxa majoră este întotdeauna folosită în astronomie în raport cu distanța medie dintre planetă și stea, ca urmare, orbitele planetelor sistemului solar sunt date sistemului heliocentric și nu sistemului de mișcare. în jurul centrului de masă. Această diferență poate fi cel mai bine ilustrată prin exemplul sistemului Pământ-Lună. Raportul de masă în acest caz este 81,30059. Semi- axa majoră a orbitei geocentrice a Lunii este de 384.400 km , în timp ce distanța până la Lună față de centrul de masă al sistemului Pământ-Lună este de 379.730 km  - datorită influenței masei Lunii, centrul de masă nu se află în centrul Pământului, ci la o distanță de 4670 km de acesta. Ca urmare, viteza medie orbitală a Lunii în raport cu centrul de masă este de 1,010 km/s, iar viteza medie a Pământului este de 0,012 km/s. Suma acestor viteze dă viteza orbitală a Lunii de 1,022 km/s; aceeași valoare poate fi obținută luând în considerare mișcarea Lunii față de centrul Pământului, mai degrabă decât centrul de masă.

Distanța medie

Se spune adesea că semi-axa majoră este distanța medie dintre corpurile centrale și cele care orbitează. Acest lucru nu este în întregime adevărat, deoarece distanța medie poate fi înțeleasă ca valori diferite - în funcție de valoarea cu care se face media:

Energie; calculul semiaxei majore prin metoda vectorilor de stare

În mecanica cerească , semi- axa majoră poate fi calculată prin metoda vectorilor de stare orbitală :

pentru orbite eliptice

pentru traiectoria hiperbolica

și

( energie orbitală specifică )

și

( parametru standard de gravitate ), unde:

 este viteza orbitală a satelitului, pe baza vectorului viteză ,  - vectorul de poziție al satelitului în coordonatele cadrului de referință, în raport cu care trebuie calculate elementele orbitei (de exemplu, geocentric în plan ecuatorial - pe orbită în jurul Pământului, sau heliocentric în planul ecliptic - în orbita în jurul Soarelui),  este constanta gravitațională , și  sunt masele corpurilor.

Semiaxa majoră se calculează din masa totală și energia specifică, indiferent de valoarea excentricității orbitale.

Semiaxele majore și minore ale orbitelor planetare

Orbitele planetelor sunt întotdeauna date ca exemple principale de elipse ( prima lege a lui Kepler ). Cu toate acestea, diferența minimă dintre semiaxele majore și cele minore arată că acestea au aspect practic circular. Această diferență (sau raport) se bazează pe excentricitate și este calculată ca , ceea ce oferă valori foarte mici pentru excentricitățile planetare tipice. Motivul presupunerii unei elipticități semnificative a orbitelor constă probabil în diferența mult mai mare dintre afeliu și periheliu. Această diferență (sau raport) se bazează și pe excentricitate și se calculează ca . Datorită diferenței mari dintre afeliu și periheliu, a doua lege a lui Kepler este ușor de descris grafic.

Excentricitate Semi-axa majoră a ( a.u. ) Semi-axa minoră b ( au ) Diferență (%) Periheliu ( a.u. ) Aphelios ( a.e. ) Diferență (%)
Mercur 0,206 0,38700 0,37870 2.2 0,307 0,467 52
Venus 0,007 0,72300 0,72298 0,002 0,718 0,728 1.4
Pământ 0,017 1,00000 0,99986 0,014 0,983 1.017 3.5
Marte 0,093 1,52400 1,51740 0,44 1.382 1.666 21
Jupiter 0,049 5,20440 5.19820 0,12 4.950 5.459 zece
Saturn 0,057 9,58260 9,56730 0,16 9.041 10.124 12
Uranus 0,046 19.21840 19.19770 0,11 18.330 20.110 9.7
Neptun 0,010 30,11000 30,10870 0,004 29.820 30.400 1.9

Vezi și

Note

  1. 7.1 Caracterizare alternativă . Consultat la 15 septembrie 2010. Arhivat din original la 24 octombrie 2018.

Link -uri