A doua formă pătratică

A doua formă pătratică (sau a doua formă fundamentală ) a unei suprafețe este o formă pătratică pe mănunchiul tangent al suprafeței, care, spre deosebire de prima formă pătratică , definește geometria exterioară a suprafeței în vecinătatea unui punct dat. .

A doua formă pătratică este deseori desemnată , iar componentele ei sunt notate în mod tradițional și . $\mathrm{I\!I}$ $L$ $M$ $N$

Cunoașterea primei și a celei de-a doua forme pătratice este suficientă pentru a calcula curburele principale , curbururile medii și gaussiene ale unei suprafețe.

Definiție

Fie ca suprafața din spațiul euclidian tridimensional cu produs scalar să fie dată de ecuația unde și sunt coordonate interne ale suprafeței; este diferența vectorului rază de -a lungul direcției alese de deplasare de la un punct la un punct infinit apropiat ; este vectorul normal la suprafață în punctul . Apoi a doua formă pătratică are forma $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $r=r(u,v),$ $u$ $v$ $dr=r_{u}du+r_{v}dv$ $r$ $M$ $M'$ $n$ $M$

\mathrm {I\!I} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},

unde coeficienții sunt determinați prin formulele:

L=\langle r_{uu},n\rangle =-\langle r_{u},n_{u}\rangle ={\frac {(r_{uu},r_{u},r_{v} )}{\sqrt {EG-F^{2}}}},

M=\langle r_{uv},n\rangle =-\langle r_{u},n_{v}\rangle =-\langle r_{v},n_{u}\rangle ={\frac { (r_{uv},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2))))),

N=\langle r_{vv},n\rangle =-\langle r_{v},n_{v}\rangle ={\frac {(r_{vv},r_{u},r_{v} )}{\sqrt {EG-F^{2}}}},

unde denotă produsul mixt al vectorilor și sunt coeficienții primei forme pătratice a suprafeței. $(\cdot ,\cdot ,\cdot )$ $E=|r_{u}|^{2},$ $F=\langle r_{u},r_{v}\rangle ,$ $G=|r_{v}|^{2}$

Definiții înrudite

Operatorul de formă sau operatorul Weingarten este un operator liniar pe planul tangent definit ca $S$ $S(V)=-\nabla _{V}\nu ,$

unde este câmpul normalelor unității la suprafață. Operatorul de formă este legat de a doua formă pătratică prin următoarea relație:

\nu

\langle S(V),W\rangle =\mathrm {I\!I} (V,W).

Valorile proprii ale operatorului de formă sunt numite curburi principale ale suprafeței în punct, iar direcțiile proprii ale operatorului de formă sunt numite direcții principale ale suprafeței în punct.
- Curbele de pe o suprafață care rulează în direcții principale se numesc linii de curbură .

Curbura normală în direcție este calculată prin formula $k_{V)$ $V$ ${\frac {\mathrm {I} \!\mathrm {I} (V,V)}{\mathrm {I} (V,V)))=\langle S(V),V\rangle / |V|^{2}$

unde este prima formă pătratică .

\mathrm {I}

Direcția cu curbură normală zero se numește asimptotică , iar curba de pe suprafața care merge în direcția asimptotică se numește curbă asimptotică .

Calcul

Function Graph

Într-un caz particular, când suprafața este un grafic al unei funcții în spațiul euclidian tridimensional cu coeficienți , coeficienții celei de-a doua forme pătratice iau forma: $z=f(x,y)$ $x,y,z$

L={\frac {f_{xx}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ M={\frac { f_{xy}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ N={\frac {f_{yy}}{\sqrt { 1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}}.

Variații și generalizări

Hipersuprafețe

Să considerăm o hipersuprafață într-un spațiu euclidian m - dimensional cu produsul interior . Fie o hartă locală a suprafeței în punctul . $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${r}:\mathbb {R} ^{m-1}\rightarrow \mathbb {R} ^{m)$ $P$

Apoi coeficienții formei a doua pătratice se calculează prin formula

q_{ij}={\biggl \langle {n},{\frac {\partial ^{2}{r)}{\partial u^{i}\partial u^{j)}}{ \biggr \rangle },\ \ \ i,j=1,\ldots ,m-1,

unde denotă vectorul normal unitar. $n$

Codimensiunea mare

A doua formă fundamentală este, de asemenea, definită pentru subvarietăți de codimensiuni arbitrare. [unu]

\mathrm {I\!I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot },

unde denotă proiecția derivatei covariante pe spațiul normal. $(\nabla _{v}w)^{\bot )$ $\nabla _{v}w$

În acest caz, a doua formă fundamentală este o formă biliniară pe spațiul tangent cu valori în spațiul normal.

Pentru subvarietățile spațiului euclidian, tensorul de curbură al subvarietății poate fi calculat folosind așa-numita formulă Gauss:

\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} ( v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .

Pentru subvarietățile unei varietăți riemanniene, trebuie adăugată curbura spațiului ambiental; dacă varietatea este încorporată într-o varietate riemanniană, atunci tensorul de curbură al varietății echipate cu metrica indusă este dat de a doua formă fundamentală și tensorul de curbură al varietății ambientale : $N$ $(M,g)$ $R_{N}$ $N$ $R_{M)$ $M$

\langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} } (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm { I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .

Vezi și

Note

↑ c. 128 în M. do Carmo, Geometria Riemanniană , Birkhäuser, 1992

Literatură

Mishchenko A.S. Fomenko A.T. Curs de geometrie diferenţială şi topologie. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0442-X .

Toponogov V.A. Geometria diferențială a curbelor și suprafețelor. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .

A. V. Cernavski . Prelegeri despre geometrie diferențială clasică (2 cursuri)