Undă armonică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 august 2016; verificările necesită 2 modificări .

O undă armonică este o undă în care fiecare punct al unui mediu sau câmp oscilant din fiecare punct din spațiu produce oscilații armonice .

În diferite cazuri, dacă este necesar, clasa undelor armonice de interes este evidențiată, de exemplu, o undă armonică plană , o undă armonică staționară etc. (vezi mai jos). [unu]

Sursele undelor armonice pot fi oscilații armonice , ele pot fi, de asemenea, excitate în orice sistem atunci când interacționează cu o undă armonică.

Caz unidimensional

Cazul unui spațiu omogen unidimensional (sau mediu omogen unidimensional) [2] este cel mai simplu.

În acest caz, toate tipurile de unde armonice sunt reduse la:

unde de călătorie sinusoidale (cosinus):

u(x,t)=A\ cos(kx-\omega t+\phi _{0})\

sau unde călătoare sub forma unui exponent imaginar:

u(x,t)=A\e^{i(kx-\omega t)},\

precum și la combinații liniare finite de unde de acest tip (pentru a exprima o undă armonică reală arbitrară în acest caz, este suficient să amestecați două unde de primul tip sau patru din al doilea; în cazul unui u mai multidimensional, se adaugă doi astfel de termeni pentru fiecare polarizare).

Poate fi folosit și conceptul de undă staționară armonică, care este redusă la suma a două unde armonice care se deplasează (în direcții opuse) descrise mai sus:

u(x,t)={\frac {A}{2}}\cdot (cos(kx-\omega t+\phi _{0})+cos(-kx-\omega t+{\hat { \phi }}_{0}))=Acos(kx+\phi '_{0})cos(\omega t+{\hat {\phi }}'_{0}).

Aici A este un coeficient constant (independent de x și t ) a cărui natură și dimensiune coincid cu natura și dimensiunea câmpului u ; k , ω și φ 0 sunt, de asemenea, parametri constanți; în cazul unidimensional luat în considerare, toate sunt numere reale (spre deosebire de cele mai multidimensionale, unde k devine vector, pentru unde plane). A este amplitudinea undei, k este numărul de undă, ω este frecvența (ciclică) și φ 0 este faza inițială, adică faza undei la x = t = 0.

În cea de-a doua formulă , A este (de obicei) complexă, amplitudinea undei este determinată de modulul acesteia | A |, iar faza inițială este, de asemenea, ascunsă în A ca argument, deoarece

u(x,t)=A\ e^{i(kx-\omega t)}=|A|\ e^{iArgA}e^{i(kx-\omega t)}=|A| \ e^{i(kx-\omega t+ArgA)}.

Așa cum o undă staționară este exprimată (așa cum este scris aici) în termeni de două valuri care călătoresc, tot așa o undă care călătorește poate fi exprimată în termeni de două unde stătătoare. Prin urmare, se poate alege una dintre cele două moduri egale de exprimare a unei unde armonice arbitrare în cazul unui spațiu omogen unidimensional: printr-o combinație liniară de unde călătoare sau o combinație liniară de unde staționare. Acest lucru este valabil pentru toate celelalte cazuri, deși undele fundamentale, prin a căror combinație liniară este exprimată o undă armonică arbitrară, se pot dovedi a fi mai complicate.

cazul unui spaţiu unidimensional neomogen (mediu neomogen) se dovedeşte a fi mult mai complicat. În acest caz, dependența undelor armonice de coordonata spațială x nu devine sinusoidală, ci în cazul general - și cel mai tipic - și nu este deloc exprimată prin funcții elementare. Cu toate acestea, în acest caz, afirmația despre posibilitatea de a exprima o undă armonică arbitrară în termeni de un număr finit (pentru o anumită frecvență) de unde armonice de bază rămâne adevărată.

Cazuri de spațiu cu dimensiuni mai mari de unu

In cazurile de spatiu cu o dimensiune mai mare de unu, chiar daca este omogen, in principiu creste foarte mult varietatea undelor armonice posibile. Cu toate acestea, există două tipuri de unde armonice care merită o atenție specială.

Unde armonice plane

Cel mai important și cel mai frecvent întâlnit tip de unde armonice sunt undele armonice plane (undele armonice unidimensionale sunt cazul lor special unidimensional).

O undă plană care călătorește este o undă de acest tip:

u(x,t)=A\ cos({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\phi _{0})\

u(x,t)=A\ e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)},\

unde, spre deosebire de o undă unidimensională , nu mai este un număr real, ci un vector numit vector de undă , a cărui dimensiune este egală cu dimensiunea spațiului, iar expresia înseamnă produsul scalar al acestui vector cu vectorul [ 3] caracterizarea unui punct din spațiu: . ${\vec k}$ ${\vec {k}}\cdot {\vec {x}}$ ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(x,y,z,\dots )$ ${\vec {k}}\cdot {\vec {x}}=k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}+k_{3}x_{3}+\dots$

Este ușor de observat că, dacă alegem axa de coordonate de-a lungul vectorului de undă, unda multidimensională plană este redusă la una unidimensională ( u în general încetează să mai depindă de celelalte coordonate și depinde de prima ca fiind unidimensională undă armonică).

Undă plană stătătoare:

u(x,t)=Acos({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}+\phi _{0})cos(\omega t+{\hat {\phi }}' _{0}).

La fel ca și în cazul unidimensional, undele armonice stătătoare și calatorii de aceeași frecvență cu același vector de undă (poate, până la un semn) sunt exprimate elementar liniar unele prin altele.

Deoarece cu ajutorul transformării Fourier (în secțiunea curentă, desigur, este implicată transformata Fourier multidimensională), aproape orice [4] funcție de coordonate spațiale poate fi reprezentată ca o sumă (integrală) de funcții reprezentând fiecare undă plană, iar dependența de timp în cazul unui spațiu omogen va fi este, de asemenea, evident armonică, atunci este evident că este convenabil să extindeți orice undă armonică (și nu numai armonică) în termeni de unde armonice plane. În unele cazuri și într-o oarecare măsură, acest lucru poate fi util în cazurile de eterogenitate a spațiului, deși în acest caz s-ar putea să nu ofere avantajele așteptate, sau extragerea acestor avantaje poate necesita artă specială.

Unde armonice sferice

Undele armonice sferice sunt oarecum mai puțin universale și mai puțin simple (sunt și mai greu de scris în mod explicit, dacă nu pur și simplu exprimate în termeni de sume / integrale infinite ale undelor plane; de exemplu, pentru spațiul bidimensional, undele sferice armonice sunt exprimate în termenii funcțiilor Bessel , adică nu sunt exprimați în termeni de funcții elementare).

Cu toate acestea, ele sunt foarte utile atunci când însăși condițiile problemei înclină spre o încercare de a lua în considerare undele sferice, adică în special atunci când se studiază undele generate de o sursă punctuală sau când problema în ansamblu are simetrie sferică (cea din urmă este cea mai bună). pentru încercarea de a căuta o soluție pur și simplu sub formă de unde sferice).

Pentru un spațiu omogen tridimensional, undele sferice armonice au forma:

alergare:

u(r,t)=A\ {\frac {cos(kr-\omega t+\phi _{0})}{r))

u(r,t)=A\ {\frac {e^{i(kr-\omega t+\phi _{0)}))){r)}

permanent:

u(r,t)=A\ {\frac {cos(kr+\phi _{0})\cdot cos(\omega t+{\hat {\phi }}_{0})}{r} }

sau (într-o formă adecvată pentru descompunere):

u(r,t)=A\ {\frac {cos(kr)\cdot cos(\omega t)}{r))

u(r,t)=A\ {\frac {cos(kr)\cdot sin(\omega t)}{r))

Semnificație și aplicare teoretică

Caz liniar general

Orice ecuație diferențială liniară de formă

$K{\frac {\partial ^{n}u}{\partial t^{n}}}=Lu,$

unde ordinea de diferențiere în raport cu timpul n poate fi orice (mai adesea n = 1 sau 2 sunt de interes), iar L este orice operator diferențial liniar care nu depinde de t (deși dacă u trebuie să fie real unidimensional, și L sunt hermitieni, atunci imparul n va trebui exclus) va avea o soluție de undă armonică.

Într-adevăr, să substituim , unde x este un punct în spațiu de orice dimensiune. Primim atunci: $u=e^{i\omega t}\cdot v(x)$

$Ki^{n}\omega ^{n}v=Lv,\$

iar exponentul este redus. Făcând aceeași substituție cu -ω , obținem, în condițiile unui K adecvat specificat mai sus, să obținem v real ca sumă a acestor două soluții.

Note

↑ Cuvântul „armonic” aici este sinonim cu „ monocromatic ”, dar aparent nu este complet exact; în orice caz, domeniile obișnuite ale ambilor termeni diferă de obicei oarecum.
↑ La fel, desigur, ca și cazurile multidimensionale care se reduc la el
↑ Elipsa înseamnă că numărul de coordonate care definesc vectorul este egal cu dimensiunea spațiului; dacă această dimensiune este egală cu 2, atunci numărul de componente vectoriale, desigur, trebuie să fie, de asemenea, trunchiat la 2.
↑ Condițiile matematice impuse clasei de funcții pentru care transformata Fourier este posibilă și pentru care transformarea inversă restabilește funcția inițială pot fi considerate îndeplinite pentru orice funcție de interes din punct de vedere al fizicii undelor, iar cazurile în care aceasta nu este destul de caz, de regulă, nu sunt foarte importante din punct de vedere fundamental și, în al doilea rând, sunt corectate cu succes printr-o regularizare destul de simplă.