Functie armonica

O funcție armonică este o funcție reală , definită și de două ori diferențiabilă continuu pe un spațiu euclidian (sau submulțimea lui deschisă), care satisface ecuația Laplace : $U$ $D$

\DeltaU=0,\

unde este operatorul Laplace , adică suma derivatelor secunde în raport cu toate coordonatele carteziene dreptunghiulare x i ( n = dim D este dimensiunea spațiului ). $\Delta =\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}$

De exemplu, funcția armonică este potențialul electrostatic în punctele în care nu există sarcină .

Proprietăți

Principiul maxim

Funcția U, care este armonică în regiunea , își atinge maximul și minimul numai la limita . Astfel, o funcție armonică nu poate avea un extremum local într- un punct interior , cu excepția cazului trivial al unei constante în funcție. Cu toate acestea, funcția poate fi nedefinită la graniță, așa că este mai corect să spunem $D$ $\partial D$ $D$ $\forall m\in D\inf _{{Q\in D}}U(Q)<U(m)<\sup _{{Q\in D}}U(Q)$

Teorema lui Liouville

O funcție armonică definită și mărginită deasupra sau dedesubt este constantă . $\mathbb {R} ^{n}$

Proprietatea medie

Dacă o funcție este armonică într-o minge centrată în punctul , atunci valoarea ei în acest punct este egală cu valoarea medie de-a lungul limitei acestei mingi sau peste minge: $u$ $B(x_{0})$ $x_{0}$ $x_{0}$

u(x_{0})={\frac {1}{\mu (\partial B)))\int \limits _({\partial B))udS={\frac {1}{\mu (B) }}\int \limits _{{B}}udV

unde este volumul sferei și este aria limitei acesteia. $\mu (B)$ $B(x_{0})$ $\mu (\partial B)$

În schimb, orice funcție continuă care are proprietatea medie pentru toate bilele situate într-o anumită regiune este armonică în această regiune.

Diferențiabilitate

O funcție care este armonică într-un domeniu este infinit diferențiabilă în ea.

Inegalitatea lui Harnack

Dacă funcția , care este armonică într-o bilă k-dimensională de rază centrată într-un anumit punct , este nenegativă în această bilă, atunci următoarele inegalități sunt valabile pentru valorile sale în punctele din interiorul bilei luate în considerare: , unde [1 ] . $U(M)=U(x_{1},...x_{k})$ $Q_{r}$ $R$ $M_{0}$ $M$ ${{R^{{k-2}}}{{\frac {Rr}{(R+r)^{{k-1}}}}}U(M_{0})}\leq {U(M )}\leq {R^{{k-2}}{\frac {R+r}{(Rr)^{{k-1}}}}U(M_{0})}$ $r=\rho (M_{0},M)<R$

Teorema lui Harnack

Fie funcții armonice pozitive într-un anumit domeniu . Dacă seria converge cel puțin într-un punct din regiune , atunci converge uniform în interior . $v_{n}(z)$ $D$ $\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}(z)$ $D$ $D$

Funcții armonice pe plan complex

Pe plan complex , funcţiile armonice sunt strâns legate de funcţiile holomorfe . În special, următoarea afirmație este valabilă: pentru un domeniu arbitrar în , dacă aceasta este o funcție holomorfă pe , atunci este o funcție armonică peste . $h:\mathbb {C} \to \mathbb {R}$ $D$ $\mathbb {C}$ $f$ $D$ $h=\operatorname {Re} (f)$ $D$

Afirmația inversă este de asemenea valabilă. Dacă este o funcție armonică peste un domeniu pur și simplu conectat , atunci pentru o funcție unică, până la o constantă, holomorfă . $h$ $D$ $h=\operatorname {Re} (f)$ $D$ $f$

Vezi și

Note

↑ A.F. Timan, V.N. Trofimov Introducere în teoria funcţiilor armonice. Moscova: Nauka, 1968

Literatură

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ecuații ale fizicii matematice. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .
Evgrafov M. A. Funcții analitice. — M.: Nauka. Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1991. - 448 p.
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Metode ale teoriei funcțiilor unei variabile complexe. — M.: Nauka. Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1973. - 749 p.
Privalov II Introducere în teoria funcţiilor unei variabile complexe. — M.: Nauka. Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1984. - 432 p.
Sidorov Yu. V. , Fedoryuk M. V. , Shabunin M. I. Prelegeri despre teoria funcțiilor unei variabile complexe. — M.: Nauka. Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1989. - 480 p.
Titchmarsh E. Teoria funcţiilor. — M.: Nauka. Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1980. - 463 p.
Fuchs B. A. , Shabat B. V. Funcțiile unei variabile complexe și unele dintre aplicațiile acestora. — M.: Nauka, 1964. — 388 p.
Hayman W. , Kennedy P. Funcții subarmonice. — M.: Mir, 1980. — 304 p.
Shabat BV Introducere în analiza complexă. În 2 volume. — M.: Nauka. Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1976. - 720 p.