Ipoteza Herzog-Schoenheim

Conjectura Herzog-Schönheim este o problemă combinatorie în teoria grupurilor pusă în 1974 de Marcel Herzog și Johanan Schoenheim [1] .

Să fie un grup și să fie $G$

{\displaystyle A=\{a_{1}G_{1},\ \ldots ,\ a_{k}G_{k}\))

este un sistem finit de seturi din stânga ale subgrupurilor grupului . $G_{1},\ldots,G_{k)$ $G$

Herzog și Schönheim au presupus că, dacă formează o partiție a unei mulțimi cu , atunci indicii (finiți) nu pot fi toți diferiți. Dacă este permisă repetarea indicilor, este ușor să împărțiți grupul în clase din stânga - dacă este vreun subgrup al grupului cu index , atunci este împărțit în clasele din stânga subgrupului . $A$ $G$ $k>1$ $[G:G_{1}],\ldots ,[G:G_{k}]$ $H$ $G$ $k=[G:H]<\infty$ $G$ $k$ $H$

Subgrupuri subnormale

În 2004 , Chiwei Sun a demonstrat o versiune extinsă a conjecturii Herzog–Schönheim pentru cazul în care sunt subnormale în [2] . Lema principală din demonstrația lui Sun spune că dacă sunt subnormale și au un indice finit în , atunci $G_{1},\ldots,G_{k)$ $G$ $G_{1},\ldots,G_{k)$ $G$

{\bigg [}G:\bigcap _{i=1}^{k}G_{i}{\bigg ]}\ {\bigg |}\ \prod _{i=1}^{k} [G:G_{i}]

si in consecinta,

P{\bigg (}{\bigg [}G:\bigcap _{i=1}^{k}G_{i}{\bigg ]}\ {\bigg )}=\bigcup _{i= 1}^{k}P([G:G_{i}]),

unde este mulțimea divizorilor primi ai . $P(n)$ $n$

Teorema Mirsky–Newman

Dacă este un grup aditiv de numere întregi, coclasele grupului sunt progresii aritmetice . În acest caz, conjectura Herzog-Schönheim afirmă că orice sistem de acoperire , o familie de progresii aritmetice care acoperă împreună toate numerele întregi, trebuie să acopere unele numere de mai multe ori sau să includă cel puțin o pereche de progresii care au aceeași diferență. Acest rezultat a fost prezentat ca o presupunere în 1950 de Pal Erdős și, la scurt timp după aceea, dovedit de Leon Mirsky , împreună cu Donald J. Newman . Cu toate acestea, Mirsky și Newman nu și-au publicat niciodată dovezile. Aceeași dovadă a fost găsită independent de Harold Davenport și Richard Rado . $G$ $\mathbb {Z}$ $G$ [3].

În 1970, la Olimpiada sovietică de matematică a fost propusă o problemă de colorare geometrică echivalentă cu teorema Mirsky-Newman:

Să presupunem că vârfurile unui poligon regulat sunt colorate astfel încât vârfurile oricărei culori să formeze un poligon regulat. Apoi există două culori care formează poligoane egale [3] .

Note

↑ Herzog, Schönheim, 1974 , p. 150.
↑ Sun, 2004 , p. 153–175.
↑ 12 Soifer , 2008 , p. 1–9.

Literatură

M. Herzog, J. Schönheim. Problema de cercetare nr. 9 // Buletinul de matematică canadian. - 1974. - T. 17 . - S. 150 . . Așa cum este menționat în ( Sun 2004 )
Zhi Wei Sun. Despre conjectura Herzog-Schönheim pentru acoperirile uniforme ale grupurilor // Journal of Algebra. - 2004. - T. 273 , nr. 1 . — S. 153–175 . - doi : 10.1016/S0021-8693(03)00526-X . - arXiv : math/0306099 .
Alexandru Soifer. Cartea de colorat matematică: matematica colorării și viața plină de culoare a creatorilor săi . - New York: Springer, 2008. - P. 1-9 . — ISBN 978-0-387-74640-1 .