Homotopie

Homotopy este o familie de mapări continue care depind continuu de un parametru, mai precis, o mapare continuă . $F_{t}\colon X\la Y,\;t\in [0,1]$ $F\colon [0,1]\time X\la Y$

Definiții înrudite

Mapările se numesc homotopice ( ) dacă există o homotopie astfel încât și . $f,g\colon X\la Y$ $g\sim f$ $f_t$ $f_0=f$ $f_1=g$
- Aceasta definește o relație de echivalență între mapările continue . $X\la Y$

Echivalența homotopie a spațiilor topologice și este o pereche de mapări continue și astfel încât și , aici denotă homotopia mapărilor. În acest caz, se spune că c are un tip de homotopie . $X$ $Y$ $f\coloan X\la Y$ $g\coloană Y\la X$ $f\circ g\sim \operatorname {id}_{Y}$ $g\circ f\sim \operatorname {id}_{X}$ $\sim$ $X$ $Y$
- Dacă și sunt
homeomorfe ( ), atunci sunt echivalente homotopic; invers nu este adevărat în general. $X$ $Y$ $X\simeq Y$
Un invariant de homotopie este o caracteristică a unui spațiu care este păstrat sub echivalența homotopie a spațiilor topologice; adică dacă două spații sunt echivalente homotopic, atunci ele au aceeași caracteristică. De exemplu: conexiune , grup fundamental , caracteristica Euler .

Dacă pe o anumită submulțime pentru toate cu , atunci se numește homotopie față de , și homotopic cu privire la . $A\subset X,\;F(t,a)=f(a)$ $t$ $a\în A$ $F$ $A$ $f$ $g$ $A$

O mapare care este homotopică la o constantă, adică o mapare la un punct, se numește contractibilă sau homotopică la zero .

Variații și generalizări

O izotopie este o homotopie a unui spațiu topologic în raport cu un spațiu topologic în care, pentru oricare, maparea este un homeomorfism pe . $X$ $Y$ $f_{t}\colon X\la Y,\;t\in [0,1]$ $t$ $f_t$ $X$ $f_{t}(X)\subset Y$

O mapare se numește echivalență de homotopie slabă dacă induce un izomorfism al grupurilor de homotopie . Un subspațiu al unui spațiu topologic astfel încât includerea este o echivalență slabă de homotopie se numește subspațiu reprezentativ . $f\coloan X\la Y$ $A$ $X$ $A\subset X$

Dacă și există fascicule arbitrare peste , atunci homotopia se numește fibră dacă morfismele sunt homotopice pe fibre, dacă există o homotopie pe fibre pentru care egalitățile și morfismul sunt echivalente homotopice pe fibre, dacă există un morfism astfel încât și sunt homotopice pe fibre. Se grupează și aparțin aceluiași tip de homotopie pe fibre dacă există cel puțin o echivalență stratificată $\varphi:E\la X$ $\varphi ':E'\to X$ $X,$ $f_{t}:E\la E'$ $\varphi 'f_{t}=\varphi .$ $f,g:E\to E'$ $f_{t}:E\la E',$ $f_{0}=f$ $f_{1}=g.$ $f:E\to E'$ $g:E'\la E$ $gf$ $fg$ $\mathrm {Id} .$ $E$ $e'$ $f:E\la E'.$

Vezi și

Literatură

Vasiliev V. A. Introducere în topologie. - M. : FAZIS, 1997. - 132 p. — ISBN 5-7036-0036-7 .
Rokhlin V. A., Fuchs D. B. Curs inițial de topologie. Capete geometrice. — M .: Nauka, 1977
Spanier E. Topologie algebrică. — M .: Mir, 1971