Algebră gradată

O algebră gradată este o algebră descompusă într-o sumă directă a subspațiilor sale în așa fel încât condiția să fie îndeplinită . [1] [2] ${\textstyle A}$ ${\textstyle A=\bigoplus _{r=-\infty }^{\infty }A_{r)}$ $A_{r)$ ${\textstyle A_{r}A_{s}\subset A_{r+s}\ (r,s\in \mathbb {Z} )}$

Definiție

Fie A o algebră peste un inel k , G un semigrup .

O algebră A se numește G - gradată (sinonimul: G - gradarea este dată pe A ) dacă A se descompune într-o sumă directă de k -module peste toate elementele g din G , iar înmulțirea în algebră este compatibilă cu înmulțirea în semigrup: $A_{g}$

A_{f}A_{g}\subset A_{fg)

Dacă un element diferit de zero a aparține , atunci se numește omogen de gradul g . $A_{g}$

Când G este luat ca grup aditiv de numere întregi sau semigrup de numere întregi nenegative, se spune că algebra A este pur și simplu gradată.

Dacă luăm inelul ca A în definiția de mai sus , atunci obținem definiția unui inel gradat .

Construcții cu gradări

Dacă A este o algebră cu grad G și a este un homomorfism de semigrup , atunci A este înzestrat cu o gradare H după regula: $\psi:G\la H$

A_{h}=\oplus _{\{g\in G\mid \psi (g)=h\}}A_{g}

Pe orice algebră A , se poate introduce o notare trivială de către orice semigrup G cu identitate e , presupunând că, prin urmare, nu are sens să se ia în considerare asemenea notări „slabe”. $A_{e}=A$

Peste un câmp , orice algebră A este gradabilă de grupul G de caractere al torului maxim al grupului său de automorfism algebric: $\mathbb {C}$ $G=(T(\operatorname {Aut} _{k{\text{-alg)}}(A)))^{\vee}:\quad A_{g}=\{a\in A\ mijlocul \phi (a)=g(\phi )a$ pentru toti $\phi \in T(\operatorname {Aut} _{k{\text{-alg}}}(A))\}$

Această notare, în sensul de mai sus, este cea mai „bogată” dintre toate gradările abeliene ale algebrei A , întrucât pe orice algebră A gradată G grupul de caractere G acționează prin automorfisme, după aceeași formulă.

Exemple

Inel de polinoame într-una sau mai multe variabile.
Inel de coomologie .
Algebra matricelor de ordinul n este gradată de grup $\mathbb {Z} _{n-1}.$
O algebră semigrupă este o algebră cu grad G. $K\stanga[G\dreapta]$

Modul gradat

Conceptul corespunzător în teoria modulelor este un modul gradat , și anume, un modul stâng M peste un inel gradat A astfel încât

{\textstyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }M_{i)}

și

{\textstyle A_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}.}

Un morfism de modul gradat este un morfism de modul care păstrează gradarea, adică . $f:N\la M$ $f(N_{i})\subseteq M_{i)$

Pentru un modul gradat M , se poate defini ℓ -twist ca un modul gradat definit de regulă . (Vezi răsucirea snopului Serre în geometria algebrică.) $M(\ell )$ $M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }$

Fie M și N module gradate. Dacă este un morfism de module, atunci f se spune că are gradul d dacă . Derivata exterioară a unei forme diferențiale în geometrie diferențială este un exemplu de morfism de gradul 1. $f:M\la N$ $f(M_{n})\subset N_{n+d)$

Literatură

C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen. Teoria inelelor gradate. - Amsterdam: Olanda de Nord, 1982. - ISBN 9780444864895 .

Note

↑ Această algebră gradată se mai numește și -gradată. ${\textstyle \mathbb {Z} }$
↑ Dicţionar Enciclopedic Matematic / Cap. ed. Yu. V. Prohorov; Ed. col.: S. I. Adyan, N. S. Bakhvalov, V. I. Bityutskov, A. P. Ershov, L. D. Kudryavtsev, A. L. Onishchik, A. P. Yushkevich. - M . : Sov. enciclopedie, 1988. - S. 161 . — 847 p. — 150.000 de exemplare.