Constructie proiect

Proj este o construcție asemănătoare construcției schemelor afine ca spectre de inele , cu ajutorul cărora se construiesc scheme care au proprietățile spațiilor proiective și varietăților proiective .

În acest articol, se presupune că toate inelele sunt inele comutative cu identitate.

Proiect de inel gradat

Proj ca set

Să fie un inel gradat , unde $S$

S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i)

este descompunerea sumă directă asociată gradării.

Se notează prin ideal Definim mulţimea Proj S ca fiind mulţimea tuturor idealurilor omogene simple , neconţinând $S_+$ $\bigoplus _{i>0}S_{i}.$ $S_{+}.$

În cele ce urmează, pentru concizie, vom desemna uneori Proj S ca X .

Proj ca spațiu topologic

Putem defini o topologie, numită topologia Zariski , pe Proj S definind mulţimi închise ca mulţimi de forma

V(a)=\{p\in \operatorname {Proj} \,S\mid a\subseteq p\},

unde a este un ideal omogen al lui S . Ca și în cazul schemelor afine, este ușor de verificat că V ( a ) sunt mulțimi închise ale unei topologii pe X .

Într-adevăr, dacă este o familie de idealuri, atunci și dacă mulțimea I este finită, atunci . $(a_{i})_{i\in I)$ $\bigcap V(a_{i})=V(\Sigma a_{i})$ $\bigcup V(a_{i})=V(\Pi a_{i})$

În mod echivalent, se poate începe cu seturi deschise și se poate defini

D(a)=\{p\in \operatorname {Proj} \,S\mid a\;\nu \subseteq \;p\}.

Scurtarea standard este de a desemna D ( Sf ) ca D ( f ), unde Sf este idealul generat de f . Pentru orice a , D ( a ) și V ( a ) sunt în mod evident complementare, iar demonstrația de mai sus arată că D ( a ) formează o topologie pe Proj S . Avantajul acestei abordări este că D ( f ), unde f trece prin toate elementele omogene ale lui S , formează baza acestei topologii, care este un instrument necesar pentru studierea Proj S , în mod similar în cazul spectrelor inelare.

Proj ca schema

Construim și un snop pe Proj S , numit snop structural, care îl transformă într-un circuit. Ca și în cazul construcției Spec, există mai multe moduri de a face acest lucru: cea mai directă, care seamănă și cu construcția de funcții regulate pe o varietate proiectivă în geometria algebrică clasică, este următoarea. Pentru orice set deschis U din Proj S , definim un inel ca setul tuturor funcțiilor $O_{X}(U)$

f\colon U\la \bigcup _{p\in U}S_{(p))

(unde denotă un subinel al inelului local al punctului , constând din elemente omogene parțiale de același grad) astfel încât pentru fiecare ideal prim p în U : $S_{(p)}$ $S_p$ $p$

f(p) este un element al lui ; $S_{(p)}$
există o submulțime deschisă V a mulțimii U care conține p și elemente omogene s , t ale inelului S de același grad, astfel încât pentru fiecare ideal prim q din V :
- t nu este în q ;
- f(q) = s/t .

Din definiție rezultă imediat că ele formează un snop de inele pe Proj S , și se poate arăta că perechea (Proj S , ) este o schemă (mai mult, fiecare submulțime a lui D(f) este o schemă afină). $O_{X}(U)$ $O_{X}$ $O_{X}$

Snop asociat cu un modul gradat

O proprietate esențială a lui S în construcția de mai sus a fost posibilitatea de a construi locații pentru fiecare ideal prim p în S . Această proprietate este deținută și de orice modul gradat M peste S , și, prin urmare, construcția din secțiunea de mai sus, cu mici modificări, ne permite să construim pentru astfel de M un snop de -module pe Proj S , notat cu . Prin construcție, acest fascicul este cvasi-coerent . Dacă S este generat de un număr finit de elemente de gradul 1 (adică este un inel polinomial sau factorul său), toate snopii cvasi-coerente de pe Proj S sunt obținute din module gradate folosind această construcție. [1] Modulul gradat corespunzător nu este unic. $S_{(p)}$ $O_{X}$ ${\tilde {M}}$

Grinda răsucitoare a lui Serra

Un caz special al unui snop asociat cu un modul gradat este atunci când luăm S însuși ca M cu o notare diferită: și anume, considerăm elemente de grad ( d + 1) ale modulului M ca fiind elemente de grad ( d + 1) a inelului S și notăm M = S (1). Obținem un snop cvasi-coerent pe Proj S , notat sau simplu O (1) și numit snop Serre răsucit . Se poate verifica că O (1) este un snop reversibil . ${\tilde {M}}$ $O_{X}(1)$

Un motiv pentru care O (1) este util este că vă permite să recuperați informații algebrice despre S care s-au pierdut în construcție atunci când mergeți la coeficienti de putere 0. În cazul Spec A pentru un inel A , secțiunile globale ale structurii snopi sunt A însuși , atunci, ca și în cazul nostru, secțiunile globale ale snopului constau din elemente S de grad 0. Dacă definim $O_{X}$ $O_{X}$

O(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}O(1)

atunci fiecare O ( n ) conține informații de grad n despre S. În mod similar, pentru un snop de -module N asociat cu un S -modul M , putem defini $O_{X}$

N(n)=N\otimes O(n)

și așteptați ca acest snop răsucit să conțină informațiile pierdute despre M . Acest lucru sugerează, deși incorect, că S poate fi reconstruit din aceste snopi; acest lucru este de fapt adevărat dacă S este un inel polinomial, vezi mai jos.

spațiu proiectiv n - dimensional

Dacă A este un inel, definim un spațiu proiectiv n - dimensional peste A ca o schemă

\mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} \,A[x_{0},\ldots,x_{n}].

Definim o gradare pe inel presupunând că fiecare are gradul 1 și fiecare element al lui A are gradul 0. Comparând aceasta cu definiția lui O (1) dată mai sus, vedem că secțiunile lui O (1) sunt polinoame liniare omogene generate. de elemente . $S=A[x_{0},\ldots,x_{n}]$ $x_i$ $x_{i}$

Exemple

Dacă luăm ca inel de bază , atunci acesta are un morfism proiectiv canonic pe linia afină , ale cărei fibre sunt curbe eliptice , cu excepția straturilor peste puncte , peste care straturile degenerează în curbe nodale. $A=\mathbb {C} [\lambda ]$ ${\text{Proj)}(A[X,Y,Z]/(ZY^{2}-X(XZ)(X-\lambda Z)))$ $\mathbb {A} _{\lambda}^{1)$ $\lambda =0,1$
O hipersuprafață proiectivă este un exemplu de quintică Fermat 3D, care este, de asemenea, o varietate Calabi-Yau . ${\text{Proj}}\left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots X_{4}^ {5})\dreapta)$
Dacă luăm în considerare o notare trivială pe , adică pentru , atunci . $A$ $A_{0}=A$ $A_{i}=0$ $i\neq 0$ ${\text{Proj}}(A)={\text{Spec}}(A)$
Spațiile proiective ponderate pot fi construite folosind inele polinomiale cu grade non-standard de variabile. De exemplu, spațiul proiectiv ponderatcorespunde luăriiineluluiundeare gradul, în timp ceare gradul 2. $\mathbb {P} (1,1,2)$ ${\text{proj)}$ $A[X_{0},X_{1},X_{2}]$ $X_{0},X_{1}$ $unu$ $X_{2}$
Un inel bigradat corespunde unei subscheme a unui produs de spații proiective. De exemplu, o algebră bigradată în care au grad și au grad corespunde cu . $\mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]$ $X_{i}$ $(1,0)$ $Y_{i}$ $(0,1)$ $\mathbb {P} _{X}^{1}\times \mathbb {P} _{Y}^{1}$

Note

↑ Ravi Vakil. Bazele geometriei algebrice . — 2015. , Corolarul 15.4.3.

Literatură

Hartshorne R. Geometrie algebrică / transl. din engleza. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonne, Jean . „Elemente de geometrie algebrică: II. Étude globale élémentaire de câteva classes de morphismes" . Publications Mathématiques de l'IHES. 8, 1961.