Grup de permutare de rang 3

Grupul de permutare de rang 3 acţionează tranzitiv asupra mulţimii astfel încât stabilizatorul punctual are 3 orbite [1] . Studiul acestor grupuri a fost inițiat de Donald Higman [2] [3] . Unele grupuri simple sporadice au fost descoperite ca grupuri de permutare de rang 3.

Clasificare

Grupurile de permutări primitive de rang 3 se încadrează în următoarele clase:

Cameron [4] a clasificat grupuri astfel încât , unde soclul T al lui T 0 este simplu și T 0 este un grup 2-tranzitiv de grad . $T\times T\leqslant G\leqslant T_{0}\operatorname {wr} Z/2Z$ ${\sqrt {n}}$
Liebeck [5] a clasificat grupuri cu subgrupuri normale abeliene elementare regulate
Bannay [6] a clasificat grupuri al căror soclu este un simplu grup alternant
Cantor [7] a clasificat grupuri al căror soclu este un simplu grup clasic
Liebeck și Saxl [8] au clasificat grupuri al căror soclu este un simplu grup clasic excepțional sau sporadic

Exemplu

Dacă G este orice grup 4-tranzitiv care acționează asupra unei mulțimi S , atunci acțiunea sa asupra perechilor de elemente ale lui S este un grup de permutare de rang 3 [9] . În special, cele mai multe grupuri alternante, grupuri simetrice și grupuri Mathieu au acțiuni 4-tranzitive și, prin urmare, aparțin grupurilor de permutare de rangul 3.

Un grup liniar proiectiv complet care acționează asupra liniilor dintr-un spațiu proiectiv de dimensiunea cel puțin 3 este un grup de permutare de rang 3.

Unele grupuri de 3 permutări sunt grupuri de permutări de rang 3 (prin acțiunea asupra permutărilor).

De obicei, un stabilizator punctual al unui grup de permutare de rang 3 care acționează pe una dintre orbite este un grup de permutare de rang 3. Acest lucru dă niște „lanțuri” de grupuri de permutare de rang 3, cum ar fi lanțul Suzuki și lanțul care se termină cu Fisher grupuri .

Unele grupuri de permutări neobișnuite de rang 3 sunt enumerate mai jos (multe dintre ele sunt preluate de la Liebeck și Saxl [8] ).

Pentru fiecare rând din tabelul de mai jos, în coloana „mărime”, numărul din stânga semnului este egal cu exponentul grupului de permutare [10] al grupului de permutare pentru grupul de permutare menționat în rând. Suma din dreapta semnului egal arată lungimea celor trei orbite ale stabilizatorilor punctului grupului de permutare. De exemplu, expresia 15 = 1+6+8 din primul rând al tabelului înseamnă că grupul de permutare are un indice de 15 și lungimile celor trei orbite ale stabilizatorilor punctului grupului de permutare sunt 1, 6 și, respectiv, 8.

grup	Stabilizator de punct	marimea	Comentarii
$\mathrm {A} _{6}=\mathrm {L} _{2}(9)=$ $\mathrm {Sp} _{4}(2)^{\prime }=\mathrm {M} _{1}0^{\prime )$	$\mathrm {S} _{4)$	15 = 1+6+8	Perechi de puncte sau seturi de 3 blocuri a câte 2 într-o reprezentare de permutare în 6 puncte; doua clase
$\mathrm {A} _{9}$	$\mathrm {L} _{2}(8):3$	120 = 1+56+63	Linia proiectivă P 1 (8); doua clase
$\mathrm {A} _{10}$	$(\mathrm {A} _{5}\times \mathrm {A} _{5}): 4$	126 = 1+25+100	Set de 2 blocuri de 5 în reprezentare naturală cu permutare în 10 puncte
$\mathrm {L} _{2}(8)$	$7:2=\mathrm {Dih} (7)$	36 = 1+14+21	Perechi de puncte în P 1 (8)
$\mathrm {L} _{3}(4)$	$\mathrm {A} _{6}$	56 = 1+10+45	Hiperovale în P 2 (4); trei clase
$\mathrm {L} _{4}(3)$	$\mathrm {PSp} _{4}(3):2$	117 = 1+36+80	Polarități simplectice P 3 (3); doua clase
$\mathrm {G} _{2}(2)^{\prime }=\mathrm {U} _{3}(3)$	$\mathrm {PSL} _{3}(2)$	36 = 1+14+21	Lant Suzuki
$\mathrm {U} _{3}(5)$	$\mathrm {A} _{7)$	50 = 1+7+42	Acțiune asupra vârfurilor grafului Hoffman-Singleton ; trei clase
$\mathrm {U} _{4}(3)$	$\mathrm {L} _{3}(4)$	162 = 1+56+105	doua clase
$\mathrm {Sp} _{6}(2)$	$\mathrm {G} _{2}(2)=\mathrm {U} _{3}(3):2$	120 = 1+56+63	Grupul Chevalley de tip G 2 care acționează asupra algebrei octonionului peste GF(2)
$\mathrm {\Omega} _{7}(3)$	$\mathrm {G} _{2}(3)$	1080 = 1+351+728	Grupul Chevalley de tip G 2 care acționează asupra octonionilor imaginari ai algebrei octonionului peste GF(3); doua clase
$\mathrm {U} _{6}(2)$	$\mathrm {U} _{4}(3):2_{2}$	1408 = 1+567+840	Stabilizatorul punctual este imaginea reprezentării liniare rezultată din „coborârea” reprezentării complexe a grupului Mitchell (grupul de reflexie complex) modulo 2; trei clase
M11 _	$\mathrm {M} _{9}:2=3^{2}:\mathrm {SD} _{16}$	55 = 1+18+36	Perechi de puncte în reprezentarea permutării cu 11 puncte
M12 _	$\mathrm {M} _{10}:2=\mathrm {A} _{6}.2^{2}=$ $\mathrm {P{\Gamma}L} (2,9)$	66 = 1+20+45	Perechi de puncte sau perechi de blocuri complementare S(5,6,12) într-o reprezentare de permutare în 12 puncte; doua clase
M22 _	2 4 :A 6	77 = 1+16+60	Blocuri S(3,6,22)
J2 _	$\mathrm {U} _{3}(3)$	100 = 1+36+63	Lant Suzuki ; acțiune pe vârfurile grafului Hall - Janko
Grupul Higman - Sims HS	M22 _	100 = 1+22+77	Acțiune pe vârfurile Contelui Higman - Sims
M22 _	$\mathrm {A} _{7)$	176 = 1+70+105	doua clase
M23 _	$\mathrm {M} _{21}:$ $2=\mathrm {L} _{3}(4):2_{2)$ $=\mathrm {P{\Sigma}L} (3,4)$	253 = 1+42+210	Perechi de puncte în reprezentarea permutării cu 23 de puncte
M23 _	$2^{4}:\mathrm {A} _{7}$	253 = 1+112+140	Blocuri S(4,7,23)
McLaughlin Group McL	$\mathrm {U} _{4}(3)$	275 = 1+112+162	Acțiune pe vârfurile Contelui McLaughlin
M24 _	$\mathrm {M} _{22}:2$	276 = 1+44+231	Perechi de puncte în reprezentarea permutării cu 24 de puncte
G2 ( 3 )	$\mathrm {U} _{3}(3):2$	351 = 1+126+244	doua clase
G2 ( 4 )	J2 _	416 = 1+100+315	Lant Suzuki
M24 _	$\mathrm {M} _{12}:2$	1288 = 1+495+792	Perechi de seturi complementare de 12 puncte într-o reprezentare de permutare în 24 de puncte
Suzuki Group Suz	$\mathrm {G} _{2}(4)$	1782 = 1+416+1365	Lant Suzuki
G2 ( 4 )	$\mathrm {U} _{3}(4):2$	2016 = 1+975+1040
Co 2	$\mathrm {PSU} _{6}(2):2$	2300 = 1+891+1408
Rudvalis Group Ru	2 F 4 (2)	4060 = 1+1755+2304
Fi 22	$2.\mathrm {PSU} _{6}(2)$	3510 = 1+693+2816	3-permutări
Fi 22	$\mathrm {\Omega} _{7}(3)$	14080 = 1+3159+10920	doua clase
Fi 23	2.Fi22 _ _	31671 = 1+3510+28160	3-permutări
$\mathrm {G} _{2}(8).3$	$\mathrm {SU} _{3}(8).6$	130816 = 1+32319+98496
Fi 23	$\mathrm {P\Omega} _{8}^{+}(3).\mathrm {S} _{3)$	137632 = 1+28431+109200
Fi 24 '	fi 23	306936 = 1+31671+275264	3-permutări

Note

↑ A nu se confunda cu grupul cu 3 permutări, care reprezintă permutări a trei elemente. În rusă, numele grupurilor sunt aproape aceleași, în engleză primul se numește grup de permutare de rang 3 , al doilea este grup de 3 transpoziții .
↑ Higman, 1964 .
↑ Higman, 1971 .
↑ Cameron, 1981 .
↑ Liebeck, 1987 .
↑ Bannai, 1971–72 .
↑ Kantor, Liebler, 1982 .
↑ 1 2 Liebeck, Saxl, 1986 .
↑ . Cele trei orbite sunt: perechea fixă însăși; perechi care au un element comun cu o pereche fixă; perechi care nu au elemente comune cu o pereche fixă.
↑ Când discutăm despre un grup de permutare pe o mulțime de n elemente, exponentul grupului este numărul de elemente din mulțime, i.e. n . A nu se confunda cu ordinea de grup. Dacă G este un grup general, notăm cel mai mic , astfel încât G este izomorf la un subgrup al grupului simetric S . Numărul este numit exponentul grupului G ( Berkovich 1999 ). Vezi și Grupul de permutare . $\delta (G)$ $n\în \mathbb {N}$ $\delta (G)$

Literatură

Eiichi Bannai. Subgrupuri maxime de rang scăzut de grupuri finite simetrice și alternante // Revista Facultății de Științe. Universitatea din Tokyo. Secțiunea IA. Matematică. — 1971–72. - T. 18 . — S. 475–486 . — ISSN 0040-8980 .
Brouwer AE, Cohen AM, Neumaier A. Grafice distanță-regular. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1989. - Vol. 18. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Rezultate în matematică și domenii conexe (3)]). - ISBN 978-3-540-50619-5 .
Peter J. Cameron. Grupuri de permutare finite și grupuri simple finite // The Bulletin of the London Mathematical Society. - 1981. - T. 13 , nr. 1 . — S. 1–22 . — ISSN 0024-6093 . - doi : 10.1112/blms/13.1.1 .
Donald G. Higman. Grupuri de permutare finite de rang 3 // Mathematische Zeitschrift . - 1964. - T. 86 . — S. 145–156 . — ISSN 0025-5874 . - doi : 10.1007/BF01111335 .
Donald G. Higman. Un studiu al unor întrebări și rezultate despre grupurile de permutare de rangul 3 // Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nisa, 1970) . - Gauthier-Villars, 1971. - T. 1. - S. 361-365. Arhivat pe 25 noiembrie 2017 la Wayback Machine
William M. Kantor, Robert A. Liebler. Reprezentările de permutare de rangul 3 ale grupurilor clasice finite // Tranzacții ale Societății Americane de Matematică . - 1982. - T. 271 , nr. 1 . — S. 1–71 . — ISSN 0002-9947 . - doi : 10.2307/1998750 .
Martin W. Liebeck. Grupurile de permutare afine de rangul trei // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1987. - T. 54 , nr. 3 . — S. 477–516 . — ISSN 0024-6115 . - doi : 10.1112/plms/s3-54.3.477 .
Martin W. Liebeck, Jan Saxl. Grupurile de permutare primitive finite de rangul trei // The Bulletin of the London Mathematical Society. - 1986. - T. 18 , nr. 2 . — S. 165–172 . — ISSN 0024-6093 . - doi : 10.1112/blms/18.2.165 .
Iakov Berkovici. Gradul și indicele unui grup finit // Journal of Algebra. - 1999. - T. 214, . - S. 740-761 . (link indisponibil)