Grupul de permutare de rang 3 acţionează tranzitiv asupra mulţimii astfel încât stabilizatorul punctual are 3 orbite [1] . Studiul acestor grupuri a fost inițiat de Donald Higman [2] [3] . Unele grupuri simple sporadice au fost descoperite ca grupuri de permutare de rang 3.
Grupurile de permutări primitive de rang 3 se încadrează în următoarele clase:
Dacă G este orice grup 4-tranzitiv care acționează asupra unei mulțimi S , atunci acțiunea sa asupra perechilor de elemente ale lui S este un grup de permutare de rang 3 [9] . În special, cele mai multe grupuri alternante, grupuri simetrice și grupuri Mathieu au acțiuni 4-tranzitive și, prin urmare, aparțin grupurilor de permutare de rangul 3.
Un grup liniar proiectiv complet care acționează asupra liniilor dintr-un spațiu proiectiv de dimensiunea cel puțin 3 este un grup de permutare de rang 3.
Unele grupuri de 3 permutări sunt grupuri de permutări de rang 3 (prin acțiunea asupra permutărilor).
De obicei, un stabilizator punctual al unui grup de permutare de rang 3 care acționează pe una dintre orbite este un grup de permutare de rang 3. Acest lucru dă niște „lanțuri” de grupuri de permutare de rang 3, cum ar fi lanțul Suzuki și lanțul care se termină cu Fisher grupuri .
Unele grupuri de permutări neobișnuite de rang 3 sunt enumerate mai jos (multe dintre ele sunt preluate de la Liebeck și Saxl [8] ).
Pentru fiecare rând din tabelul de mai jos, în coloana „mărime”, numărul din stânga semnului este egal cu exponentul grupului de permutare [10] al grupului de permutare pentru grupul de permutare menționat în rând. Suma din dreapta semnului egal arată lungimea celor trei orbite ale stabilizatorilor punctului grupului de permutare. De exemplu, expresia 15 = 1+6+8 din primul rând al tabelului înseamnă că grupul de permutare are un indice de 15 și lungimile celor trei orbite ale stabilizatorilor punctului grupului de permutare sunt 1, 6 și, respectiv, 8.
grup | Stabilizator de punct | marimea | Comentarii |
---|---|---|---|
15 = 1+6+8 | Perechi de puncte sau seturi de 3 blocuri a câte 2 într-o reprezentare de permutare în 6 puncte; doua clase | ||
120 = 1+56+63 | Linia proiectivă P 1 (8); doua clase | ||
126 = 1+25+100 | Set de 2 blocuri de 5 în reprezentare naturală cu permutare în 10 puncte | ||
36 = 1+14+21 | Perechi de puncte în P 1 (8) | ||
56 = 1+10+45 | Hiperovale în P 2 (4); trei clase | ||
117 = 1+36+80 | Polarități simplectice P 3 (3); doua clase | ||
36 = 1+14+21 | Lant Suzuki | ||
50 = 1+7+42 | Acțiune asupra vârfurilor grafului Hoffman-Singleton ; trei clase | ||
162 = 1+56+105 | doua clase | ||
120 = 1+56+63 | Grupul Chevalley de tip G 2 care acționează asupra algebrei octonionului peste GF(2) | ||
1080 = 1+351+728 | Grupul Chevalley de tip G 2 care acționează asupra octonionilor imaginari ai algebrei octonionului peste GF(3); doua clase | ||
1408 = 1+567+840 | Stabilizatorul punctual este imaginea reprezentării liniare rezultată din „coborârea” reprezentării complexe a grupului Mitchell (grupul de reflexie complex) modulo 2; trei clase | ||
M11 _ | 55 = 1+18+36 | Perechi de puncte în reprezentarea permutării cu 11 puncte | |
M12 _ | 66 = 1+20+45 | Perechi de puncte sau perechi de blocuri complementare S(5,6,12) într-o reprezentare de permutare în 12 puncte; doua clase | |
M22 _ | 2 4 :A 6 | 77 = 1+16+60 | Blocuri S(3,6,22) |
J2 _ | 100 = 1+36+63 | Lant Suzuki ; acțiune pe vârfurile grafului Hall - Janko | |
Grupul Higman - Sims HS | M22 _ | 100 = 1+22+77 | Acțiune pe vârfurile Contelui Higman - Sims |
M22 _ | 176 = 1+70+105 | doua clase | |
M23 _ | 253 = 1+42+210 | Perechi de puncte în reprezentarea permutării cu 23 de puncte | |
M23 _ | 253 = 1+112+140 | Blocuri S(4,7,23) | |
McLaughlin Group McL | 275 = 1+112+162 | Acțiune pe vârfurile Contelui McLaughlin | |
M24 _ | 276 = 1+44+231 | Perechi de puncte în reprezentarea permutării cu 24 de puncte | |
G2 ( 3 ) | 351 = 1+126+244 | doua clase | |
G2 ( 4 ) | J2 _ | 416 = 1+100+315 | Lant Suzuki |
M24 _ | 1288 = 1+495+792 | Perechi de seturi complementare de 12 puncte într-o reprezentare de permutare în 24 de puncte | |
Suzuki Group Suz | 1782 = 1+416+1365 | Lant Suzuki | |
G2 ( 4 ) | 2016 = 1+975+1040 | ||
Co 2 | 2300 = 1+891+1408 | ||
Rudvalis Group Ru | 2 F 4 (2) | 4060 = 1+1755+2304 | |
Fi 22 | 3510 = 1+693+2816 | 3-permutări | |
Fi 22 | 14080 = 1+3159+10920 | doua clase | |
Fi 23 | 2.Fi22 _ _ | 31671 = 1+3510+28160 | 3-permutări |
130816 = 1+32319+98496 | |||
Fi 23 | 137632 = 1+28431+109200 | ||
Fi 24 ' | fi 23 | 306936 = 1+31671+275264 | 3-permutări |