Grup sporadic

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 9 august 2022; verificarea necesită 1 editare .

Grupul sporadic este unul dintre cele 26 de grupuri excepționale din teorema de clasificare pentru grupuri finite simple .

Un grup simplu este un grup G care nu conține subgrupuri normale, altele decât grupul G însuși și subgrupul trivial (identității). Teorema de clasificare afirmă că lista de grupuri simple finite constă din 18 familii infinite numărabile , plus 26 de excepții care nu se încadrează în această clasificare. Aceste excepții se numesc grupuri sporadice. Sunt cunoscute și sub denumirea de „grupuri sporadice simple” sau „grupuri finite sporadice”. Deoarece grupul țâțelor nu este strict un grup de tip Lie , uneori este considerat și sporadic [1] și în acest caz este al 27-lea grup sporadic.

Grupul de monștri este cel mai mare dintre grupurile sporadice și conține ca subgrupuri sau subgrupuri de subfactori toate celelalte grupuri sporadice, cu excepția a șase.

Nume sporadice de grupuri

Cinci grupuri sporadice au fost descoperite de Mathieu în anii 1860, restul de 21 au fost găsite între 1965 și 1975. Existența mai multor dintre aceste grupuri a fost prezisă înainte de construirea lor. Ulterior s-a dovedit că aceasta a finalizat în sfârșit căutarea completă. Majoritatea grupurilor sunt numite după matematicienii care le-au prezis prima dată existența.

Lista completă a grupurilor:

Mathieu grupele M 11 , M 12 , M 22 , M 23 , M 24
Grupuri Janko J 1 , J 2 sau HJ , J 3 sau HJM , J 4
Grupuri Conway Co 1 , Co 2 , Co 3
Grupuri Fischer Fi 22 , Fi 23 , Fi 24 ′ sau F 3+
Higman-Sims Group HS
McLaughlin Group McL
Grup ținut He sau F 7+ , sau F 7
Rudvalis Group Ru
Grupul Suzuki Suz sau F 3−
O'Nan Band O'N
Grupul Harada-Norton HN sau F 5+ sau F 5
Lyons Group Ly
Grupul Thompson Th sau F 3|3 sau F 3
Grupul de monștri mici B sau F 2+ sau F 2
Grupul de monștri Fisher-Grace M sau F 1

Grupul de țâțe T este uneori considerat și un grup sporadic (este aproape un tip Lie) și din acest motiv unele surse indică numărul de grupuri sporadice ca 27 mai degrabă decât 26. Potrivit altor surse, grupul țâțelor nu este considerat nici sporadic, nici un grup de tip Lie.

Pentru toate grupurile sporadice, au fost construite reprezentări matriceale pe câmpuri finite.

Cea mai timpurie utilizare a termenului „grup sporadic” se găsește în Burnside [2] , unde spune despre grupurile Mathieu: „Aceste grupuri simple aparent sporadice necesită un studiu mai atent decât a fost primit până acum”.

Diagrama din dreapta se bazează pe diagrama Ronan [3] . Grupurile sporadice au și un număr mare de subgrupuri care nu sunt sporadice, dar acestea nu sunt reprezentate în diagramă din cauza numărului lor imens.

Sistem

Din cele 26 de grupuri sporadice, 20 sunt în cadrul grupului „Monstru” ca subgrupuri sau subgrupuri de subfactori .

I. Paria

Cele șase excepții J 1 , J 3 , J 4 , O'N , Ru și Ly sunt uneori numite paria .

II. Familie fericită

Celelalte douăzeci de grupuri se numesc Happy Family (numele a fost dat de Robert Gries ) și pot fi împărțite în trei generații.

Prima generație (5 grupuri) - grupuri Mathieu

Grupurile M n pentru n = 11, 12, 22, 23 și 24 sunt grupuri de permutare tranzitivă multiplicată de n puncte. Toate sunt subgrupuri ale grupului M 24 , care este un grup de permutare de 24 de puncte.

A doua generație (7 grupuri) - Lich grid

Toți subfactorii ai grupului de automorfism al unei rețele în spațiu cu 24 de dimensiuni numite rețea Leach :

Co 1 este grupul de factori al grupului de automorfism în raport cu centrul {±1}
Co 2 - stabilizator vectorial de tip 2 (adică lungimea 2)
Co 3 - stabilizator vectorial de tip 3 (adică lungimea √6)
Suz este un grup de automorfisme care păstrează structura (modulul centrului)
McL - stabilizator delta tip 2-2-3
HS - stabilizator delta tip 2-3-3
J 2 este grupul de automorfisme care păstrează structura cuaternionului (modulul din centru).

A treia generație (8 grupuri) - alte subgrupuri ale Monstrului

Constă din subgrupuri care sunt strâns legate de Monster M :

B sau F 2 are un capac dublu care este centralizatorul unui element de ordinul 2 din M
Fi 24 ′ are un capac triplu care este centralizatorul unui element de ordinul 3 din M ( clasa de conjugare „3A”)
Fi 23 este un subgrup al Fi 24 ′
Fi 22 este dublu acoperit, care este un subset al Fi 23
Produsul lui Th = F 3 și un grup de ordinul 3 este centralizatorul unui element de ordinul 3 din M ( clasa de conjugație „3C”)
Produsul lui HN = F 5 și un grup de ordin 5 este centralizatorul unui element de ordin 5 din M
Produsul lui He = F 7 și un grup de ordinul 7 este centralizatorul unui element de ordinul 7 din M.
În cele din urmă, monstrul însuși este considerat a aparține acestei generații.

(Această serie continuă și continuă - produsul lui M 12 și un grup de ordinul 11 este centralizatorul unui element de ordinul 11 în M. )

Grupul de țâțe aparține, de asemenea, acestei generații - există un subgrup care normalizează subgrupul 2C 2 B , generând un subgrup care normalizează un subgrup Q 8 Monstru. este, de asemenea, un subgrup al grupurilor Fischer Fi 22 , Fi 23 și Fi 24 ′ și „micul Monstru” B . este un subgrup al grupului paria Rudvalis Ru și nu are alte dependențe cu grupuri simple sporadice, altele decât cele enumerate mai sus. $S_{4}\times {^{2}}{F_{4}(2)^{\prime }}$ $2{\cdot }S_{4}\times {^{2}}F_{4}(2)^{\prime }$ ${^{2}}F_{4}(2)^{\prime }$ ${^{2}}F_{4}(2)^{\prime }$

Tabelul ordinelor grupurilor sporadice

grup	Generaţie	Comanda (secvența A001228 în OEIS )	Cifre semnificative	Descompunere	Trei generatoare standard (a, b, ab) [4] [5] [6]	Alte conditii
F1 sau M _	al treilea	8080174247945128758864599049617107 57005754368000000000	≈ 8⋅10 53	2 46 • 3 20 • 5 9 • 7 6 • 11 2 • 13 3 • 17 • 19 • 23 • 29 • 31 • 41 • 47 • 59 • 71	2A, 3B, 29
F 2 sau B	al treilea	4154781481226426191177580544000000	≈ 4⋅10 33	$2^{41}\cdot 3^{13}\cdot 5^{6}\cdot 7^{2}\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 31\cdot 47$	2C, 3A, 55	$o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=23$
Fi 24 ' sau F 3+	al treilea	1255205709190661721292800	≈ 1⋅10 24	2 21 • 3 16 • 5 2 • 7 3 • 11 • 13 • 17 • 23 • 29	2A, 3E, 29	$o((ab)^{3}b)=33$
Fi 23	al treilea	4089470473293004800	≈ 4⋅10 18	2 18 • 3 13 • 5 2 • 7 • 11 • 13 • 17 • 23	2B, 3D, 28
Fi 22	al treilea	64561751654400	≈ 6⋅10 13	2 17 • 3 9 • 5 2 • 7 • 11 • 13	2A, 13, 11	$o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=12$
F 3 sau Th	al treilea	90745943887872000	≈ 9⋅10 16	2 15 • 3 10 • 5 3 • 7 2 • 13 • 19 • 31	2, 3A, 19
Ly	paria	51765179004000000	≈ 5⋅10 16	2 8 • 3 7 • 5 6 • 7 • 11 • 31 • 37 • 67	2, 5A, 14	$o(ababab^{2})=67$
F 5 sau HN	al treilea	273030912000000	≈ 3⋅10 14	2 14 • 3 6 • 5 6 • 7 • 11 • 19	2A, 3B, 22	$o([a,b])=5$
Co 1	al doilea	4157776806543360000	≈ 4⋅10 18	2 21 • 3 9 • 5 4 • 7 2 • 11 • 13 • 23	2B, 3C, 40
Co 2	al doilea	42305421312000	≈ 4⋅10 13	2 18 • 3 6 • 5 3 • 7 • 11 • 23	2A, 5A, 28
Co 3	al doilea	495766656000	≈ 5⋅10 11	2 10 • 3 7 • 5 3 • 7 • 11 • 23	2A, 7C, 17
O'N	paria	460815505920	≈ 5⋅10 11	2 9 • 3 4 • 5 • 7 3 • 11 • 19 • 31	2A, 4A, 11
Suz	al doilea	448345497600	≈ 4⋅10 11	2 13 • 3 7 • 5 2 • 7 • 11 • 13	2B, 3B, 13	$o([a,b])=15$
Ru	paria	145926144000	≈ 1⋅10 11	2 14 • 3 3 • 5 3 • 7 • 13 • 29	2B, 4A, 13
F 7 sau El	al treilea	4030387200	≈ 4⋅10 9	2 10 • 3 3 • 5 2 • 7 3 • 17	2A, 7C, 17
McL	al doilea	898128000	≈ 9⋅10 8	2 7 • 3 6 • 5 3 • 7 • 11	2A, 5A, 11	$o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=7$
HS	al doilea	44352000	≈ 4⋅10 7	2 9 • 3 2 • 5 3 • 7 • 11	2A, 5A, 11
J4 [ en	paria	86775571046077562880	≈ 9⋅10 19	2 21 • 3 3 • 5 • 7 • 11 3 • 23 • 29 • 31 • 37 • 43	2A, 4A, 37	$o(abab^{2})=10$
J 3 sau HJM	paria	50232960	≈ 5⋅10 7	2 7 • 3 5 • 5 • 17 • 19	2A, 3A, 19	$o([a,b])=9$
J2 sau HJ _	al doilea	604800	≈ 6⋅10 5	2 7 • 3 3 • 5 2 • 7	2B, 3B, 7	$o([a,b])=12$
J 1	paria	175560	≈ 2⋅10 5	2 3 • 3 • 5 • 7 • 11 • 19	2, 3, 7	$o(abab^{2})=19$
M24 [ en	primul	244823040	≈ 2⋅10 8	2 10 • 3 3 • 5 • 7 • 11 • 23	2B, 3A, 23	$o(ab(abab^{2})^{2}ab^{2})=4$
M23 [ en	primul	10200960	≈ 1⋅10 7	2 7 • 3 2 • 5 • 7 • 11 • 23	2, 4, 23	$o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=8$
M22 [ en	primul	443520	≈ 4⋅10 5	2 7 • 3 2 • 5 • 7 • 11	2A, 4A, 11	$o(abab^{2})=11$
M12 [ en	primul	95040	≈ 1⋅10 5	2 6 • 3 3 • 5 • 11	2B, 3B, 11
M11 [ en	primul	7920	≈ 8⋅10 3	2 4 • 3 2 • 5 • 11	2, 4, 11	$o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=4$

Note

↑ De exemplu, conform lui Conway .
↑ Burnside, 1911 , p. 504 nota N.
↑ Ronan, 2006 .
↑ Wilson R. A. Un atlas al reprezentărilor sporadice ale grupurilor (1998). Data accesului: 7 ianuarie 2018. Arhivat din original pe 4 ianuarie 2018. (nedefinit)
↑ Nickerson SJ, Wilson RA. Semi-Prezentari pentru grupurile simple sporadice (2000). (nedefinit)
↑ Wilson RA, Parker RA, Nickerson SJ, Bray JN. Atlas: Grupuri sporadice (1999). Consultat la 7 ianuarie 2018. Arhivat din original pe 8 ianuarie 2012. (nedefinit)

Literatură

William Burnside. Teoria grupurilor de ordine finite. - 1911. - S. 504 (nota N). — ISBN 0-486-49575-2 .
Conway JH Un grup perfect de ordin 8.315.553.613.086.720.000 și grupurile simple sporadice // Proc. Natl. Acad. sci. STATELE UNITE ALE AMERICII. - 1968. - T. 61 , nr. 2 . — S. 398–400 . - doi : 10.1073/pnas.61.2.398 .
Conway JH , Curtis RT, Norton SP, Wilson RA Atlasul grupurilor finite. Subgrupuri maxime și caractere obișnuite pentru grupuri simple. Cu ajutorul de calcul din partea JG Thackray. - Oxford University Press, 1985. - ISBN 0-19-853199-0 .
Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The Classification of the Finite Simple Groups. - Societatea Americană de Matematică , 1994. Problemele 1 , 2 , ...
Robert L. Griess. Douăsprezece grupuri sporadice . - Springer-Verlag, 1998. - ISBN 3540627782 .
Mark Ronan. Simetria și monstrul . - Oxford, 2006. - ISBN 978-0-19-280722-9 .

Link -uri

Weisstein, Eric W. Sporadic Group (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Atlasul reprezentărilor grupurilor finite: grupuri sporadice

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformați grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier