Analiza de grup a ecuațiilor diferențiale

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 25 septembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Analiza de grup a ecuațiilor diferențiale este o ramură a matematicii care studiază proprietățile de simetrie ale ecuațiilor diferențiale în raport cu diferite transformări ale variabilelor dependente și independente. Include metode și aspecte aplicate ale geometriei diferențiale , teoria grupurilor Lie și algebrelor , calculul variațiilor și este, la rândul său, un instrument eficient de cercetare în teoria ODE -urilor , PDE -urilor și fizicii matematice .

Motivație

Dacă o ecuație diferențială se transformă în ea însăși după o schimbare de variabile (până la transformări identice), atunci această modificare transformă orice soluție a ecuației înapoi într-o soluție, în general vorbind, care nu coincide cu cea inițială. Toate astfel de înlocuiri formează un grup numit grupul de simetrie al ecuației diferențiale sau grupul admis de ecuația diferențială. Astfel, cunoașterea grupului de simetrie și a unor soluții particulare face posibilă construirea familiilor de soluții obținute din cele originale prin aplicarea tuturor transformărilor grupului. În plus, dacă o soluție a ecuației este invariantă în raport cu grupul (sau unele dintre subgrupurile sale ), acest fapt impune anumite condiții asupra formei sale, ceea ce ne permite să ne așteptăm la o simplificare a ecuației originale atunci când este restrânsă la astfel de soluții invariante (în special, o scădere a numărului de variabile independente). Aceste considerații conduc la problema metodelor generale de găsire a grupului admisibil al unei ecuații diferențiale date. Pe de altă parte, conform unui grup dat de transformări, în principiu, se poate construi un set de ecuații diferențiale care îi permit ca grupul lor de simetrie, ceea ce este deosebit de important pentru secțiunile fundamentale ale fizicii teoretice .

Metodele bine dezvoltate ale teoriei grupurilor și ale geometriei diferențiale fac posibilă formularea riguroasă a considerațiilor de mai sus și rezolvarea constructivă a unui număr de probleme conexe și, de asemenea, extinde semnificativ arsenalul de instrumente pentru studierea comportamentului calitativ al soluțiilor ecuațiilor diferențiale, numerice. integrare etc.

Definiții

Fie și notăm mulțimi de variabile independente și, respectiv, dependente ale unui sistem de ecuații diferențiale de ordin $x=(x^{1},x^{2},...x^{n})\in X=R^{n)$ $u=(u^{1},u^{2},...,u^{m})\in U=R^{m)$ $s$

F(x,u,{\underset {1}{u}},...,{\underset {s}{u}})=0,\qquad F=(F^{1},F ^{2},...,F^{m}),

(unu)

a este mulțimea tuturor derivatelor posibile de ordin . Sistemul de ecuații ( 1 ) definește o subvarietate în spațiu . ${\underset {k}{u}}\in {\underset {k}{U}}$ $k$ ${\underset {s}{Z}}=X\times U\times {\underset {1}{U}}\times ...\times {\underset {s}{U}}$ $M$

Fie grupul Lie să acționeze în spațiul variabilelor independente și dependente prin transformări $G$ ${\underset {0}{Z}}\equiv Z=X\times U$

x'=\phi (x,u,g),\quad u'=\psi (x,u,g),\quad g\in G.

(2)

Prin recalcularea derivatelor la variabilele transformate, transformările ( 2 ) sunt extinse în mod unic la întregul spațiu : ${\underset {s}{Z)}$

{u'}_{a_{1}...a_{k}}^{\alpha }\equiv {\frac {\partial u'^{\alpha }}{\partial x'^{a_ {1}}...\partial x'^{a_{k}}}}=\psi _{a_{1}...a_{k}}^{\alpha }(x,u,{\underset {1}{u}},...,{\underset {k}{u}},g),\quad k=1,...,s.

Un grup se numește grupul de simetrie al sistemului ( 1 ) dacă varietatea este o varietate invariantă a celei de- a- a continuații a acțiunii ( 2 ), adică acțiunea ( 2 ) extinsă la derivate până la și inclusiv ordinul. Acțiunea fiecărui subgrup cu un parametru , (vezi maparea exponențială ) a grupului în spațiu este generată de un câmp vectorial (aici și mai jos, este implicită regula de însumare Einstein ) $G$ $M$ $s$ $s$ $e^{tA)$ $A\in {\mathcal {G}}=\mathrm {Minciuna} \,G$ $G$ $X\time U$

Y_{A}=\xi ^{a}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{a))}+\eta ^{\alpha }(x,u){ \frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}},\quad \xi ^{a}=\left.{\frac {d\phi ^{a}(x,u,e^{tA })}{dt))\right|_{t=0},\quad \eta ^{\alpha }=\left.{\frac {d\psi ^{\alpha }(x,u,e^{ tA})}{dt}}\right|_{t=0}.

(3)

Generatorul corespunzător al acțiunii subgrupului extins la spațiu , $g(t)$ ${\underset {s}{Z)}$

{\underset {s\ \ \ }{Y_{A)}}=\xi ^{a}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{a)}}+\ eta ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha ))}+\sum \limits _{|I|=1}^{s}\theta _{ I}^{\alpha }(x,u,{\underset {1}{u}},...,{\underset {|I|}{u}}){\frac {\partial }{\partial u_{I}^{\alpha }}},\quad \theta _{I}^{\alpha }=\left.{\frac {d\psi _{I}^{\alpha }(x,u, {\underset {1}{u}},...,{\underset {|I|}{u}},e^{tA})}{dt}}\right|_{t=0},

(patru)

unde este multi-indexul , se numește continuarea a-lea a generatorului . Prin analogie, prin adăugarea formală la seria ( 4 ) a unui număr nelimitat de termeni cu derivate de ordin superior, se introduce conceptul de continuare infinită . În acest caz, problema convergenței acestei serii nu se pune, deoarece în practică trebuie întotdeauna să se ocupe de funcții care depind de derivate de ordin finit. $eu$ $s$ $Y_{A}$ ${\underset {\infty \ \ \ }{Y_{A}}}$

Principalele prevederi și rezultate

Coeficienții generatoarelor continuate

Forma explicită a coeficienților generatorului continuat se găsește prin diferențierea constrângerilor

d{u'}^{\alpha }={u'}_{a}^{\alpha }d{x'}^{a},\quad d{u'}_{a}^{ \alpha }={u'}_{ab}^{\alpha }d{x'}^{b}

etc., suprapuse pe coordonatele din spațiu , conform parametrului de transformare la . De exemplu, pentru a găsi coeficienții la , luați în considerare relațiile ${\underset {s}{Z)}$ $t$ $t = 0$ $\partial /\partial u_{a}^{\alpha }$

d{u'}^{\alpha }=\left({\frac {\partial {u'}^{\alpha }}{\partial x^{a}}}+{\frac {\partial {u'}^{\alpha }}{\partial u^{\beta }}}u_{a}^{\beta }\right)dx^{a}={u'}_{a}^{\ alfa }d{x'}^{a}={u'}_{b}^{\alpha }\left({\frac {\partial {x'}^{b)){\partial x^{a ))}+{\frac {\partial {x'}^{b}}{\partial u^{\beta }}}u_{a}^{\beta }\right)dx^{a}.

Echivalând coeficienții la și diferențierea lor față de at , ținând cont de expresiile ( 3 - 4 ) avem $dx^{a)$ $t$ $t = 0$

{\frac {\partial \eta ^{\alpha }}{\partial x^{a}}}+{\frac {\partial \eta ^{\alpha }}{\partial u^{\beta ))}u_{a}^{\beta }=\theta _{a}^{\alpha }+u_{b}^{\alpha }\left({\frac {\partial \xi ^{b)) {\partial x^{a))}+{\frac {\partial \xi ^{b)){\partial u^{\beta ))}u_{a}^{\beta }\right),

Unde

\theta _{a}^{\alpha }=D_{a}\eta ^{\alpha }-u_{b}^{\alpha }D_{a}\xi ^{b},

unde notația

D_{a}={\frac {\partial }{\partial x^{a)}}+u_{a}^{\beta }{\frac {\partial }{\partial u^{\beta ))}+u_{ab}^{\beta }{\frac {\partial }{\partial u_{b}^{\beta }}}+...

pentru operatorul derivat total în raport cu coordonata . Într-un mod similar, pot fi găsite expresii generale recurente și explicite pentru coeficienții de ordine arbitrară: $x^{a}$

\theta _{aI}^{\alpha }=D_{a}\theta _{I}^{\alpha }-u_{bI}^{\alpha }D_{a}\xi ^{b} ,\quad \theta _{I}^{\alpha }=D_{I}\left(\eta ^{\alpha }-u_{b}^{\alpha }\xi ^{b}\right)+\ xi ^{b}u_{bI}^{\alpha }.

Criteriul infinitezimal pentru invarianța sistemului ( 1 ) este condiția

\left.{\underset {s\ \ \ }{Y_{A)}}F\right|_{F=0}=0,

care trebuie să fie valabil pentru orice element dintr-o vecinătate de zero în algebra Lie . Deoarece această condiție conține nu numai variabile și , de care depind coeficienții generatorului , ci și derivate, în general vorbind, până la ordinea inclusiv, care în acest caz apar ca variabile independente, pentru orice valori a căror condiție trebuie fi satisfăcut, apoi se descompune într-un sistem, de regulă, ecuații diferențiale liniare redefinite pentru coeficienții , . După rezolvarea acestui sistem, se poate, în principiu, restabili acțiunea (locală) a grupului în spațiul , și apoi și în . $A$ ${\cal {G}}$ $X$ $u$ $Y$ $s$ $\xi ^{a)$ $\eta ^{\alpha }$ $G$ $X\time U$ ${\underset {s}{Z)}$

Invarianți diferențiați

Invariantul diferențial al ordinului $s$ unui grup este o funcție diferențiabilă pe , în funcție de derivatele ordinului , și invariant sub continuarea acțiunii acestui grup. Invarianții de ordin diferențial satisfac sistemul de ecuații liniare de ordinul întâi $G$ ${\underset {s}{Z)}$ $k$ $s$ $s$

{\underset {s\ \ \ }{Y_{i)}}J=0,\qquad i=1,...,\dim G,

unde este baza generatoarelor grupului pe . Din teoria generală a unor astfel de sisteme rezultă că un invariant arbitrar poate fi exprimat în termenii unui anumit set minim de invarianți independenți funcțional, unde este numărul de variabile independente și este numărul de ecuații independente din sistem, care este egal cu rangul maxim al matricei sale de coeficienți. $Y_{i}$ $G$ $Z$ $Nr$ $N=n+m\,C_{s}^{n+s)$ $r$

O parte semnificativă a aplicațiilor analizei de grup se bazează pe următoarea teoremă.

Astfel, cunoașterea invarianților diferențiali face posibilă găsirea formei generale a ecuațiilor care sunt invariante față de un grup dat, iar analiza structurii algebrei Lie a grupului de simetrie face posibilă alegerea unei modificări a variabilelor care reduce ecuația dată la cea mai simplă formă posibilă, de exemplu, permițând reducerea ordinii (a se vedea secțiunea " Anexe ").

Diferențierea invariantă

Un operator de diferențiere invariantă a unui grup este un operator diferențial care, atunci când acționează asupra unui invariant diferențial al acestui grup, dă un invariant diferențial de ordin superior. Din definiție rezultă că un operator este un operator de diferențiere invariantă a unui grup dacă și numai dacă comută cu orice generator al acțiunii continue a acestui grup: $G$ $\delta$ $G$ ${\underset {\infty {Y}}$

\left[\delta ,\,{\underset {\infty }{Y}}\right]=0.

(5)

Pentru orice grup de transformări spațiale, există operatori de diferențiere invarianți de ordinul întâi care sunt independenți liniar pe câmpul invarianților grupului dat. Acești invarianți au forma și, ținând cont de ( 5 ), satisfac sistemul de ecuații $G$ $Z=X\times U$ $n=\dim X$ $\delta =\lambda ^{a}D_{a}$

{\underset {\kappa \ \ }{Y_{i)}}\lambda ^{a}=\lambda ^{b}D_{b}\xi _{i}^{a},\qquad i =1,...,\dim G.

Numărul este cea mai mică ordine de continuare a grupului al cărui rang este maxim, adică egal cu . Domeniul invarianților diferențiali are un set finit de generatori în sensul că un invariant diferențial arbitrar poate fi obținut printr-un număr finit de acțiuni, inclusiv operații funcționale și aplicarea operatorilor de diferențiere invarianți de ordinul întâi, dintr-o bază de invarianți diferențiali de ordin. . $\kappa$ $G$ $\dim G$ $\kappa +1$

Aplicații

Ecuații diferențiale obișnuite

Pentru (sisteme de) ecuații diferențiale obișnuite, analiza de grup stabilește condiții suficiente pentru integrabilitatea în cuadraturi și, dacă sunt îndeplinite, oferă un algoritm pentru construirea unei soluții generale. Dacă aceste condiții nu sunt îndeplinite, cunoașterea grupului de simetrie face posibilă scăderea ordinii unei ecuații sau a unui sistem, adică exprimarea soluțiilor acestora în termeni de soluții la o ecuație de ordin inferior sau la un sistem cu un număr mai mic de ecuații .

Mai jos sunt principalele rezultate ale analizei de grup în raport cu ODE.

Degradare

Dacă o ecuație diferențială obișnuită

F(x,u',...,u^{(s)})=0

admite un grup de simetrie cu un parametru cu generator

Y=\xi (x,u){\frac {\partial }{\partial x))+\eta (x,u){\frac {\partial }{\partial u)),

(6)

apoi prin trecerea la variabile care îndreptă câmpul vectorial ( 6 ), ordinea acestuia poate fi redusă cu unu. În special, ecuația de ordinul întâi, rezolvată în raport cu derivata, este integrată în cuadraturi în această condiție.

Ultima afirmație poate fi formulată alternativ în termenii unui factor integrator.

Factorul de integrare

Ecuație diferențială obișnuită în diferențiale totale

P(x,u)\,dx+Q(x,u)\,du=0

admite un grup de simetrie cu un parametru cu generator ( 6 ) dacă și numai dacă funcția

\mu ={\frac {1}{P\,\xi +Q\,\eta }}

este un factor integrator pentru această ecuație .

Teorema lui Lie

Rezultatele de mai sus sunt generalizate prin următoarea teoremă.

Având în vedere corespondența dintre ecuațiile de ordin și sistemele de ecuații de ordinul întâi, o teoremă similară este valabilă și pentru o ecuație de ordin . $s$ $s$ $s$

Ecuații cu diferențe parțiale

Literatură

L. V. Ovsyannikov. Analiza de grup a ecuațiilor diferențiale. - M .: Știință. Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1978. - 400 p.
P. Olver. Aplicații ale grupurilor de Lie la ecuații diferențiale. Pe. din engleză.- M . : Mir, 1989. - 639 p. — ISBN 5-03-001178-1 .
N. Kh. Ibragimov. Grupuri de transformări în fizica matematică. - M .: Știință. Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1983. - 280 p.