Un grup de parametri

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 25 septembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Definiția unui grup cu un parametru ( ing. grup cu un parametru ) sau a unui subgrup cu un parametru este asociată cu un homomorfism continuu al grupului

\varphi:\mathbb {R} \rightarrow G

de la linia reală (ca grup aditiv) la un grup topologic . Dacă este o injecție , atunci imaginea va fi un subgrup izomorf cu . $\mathbb {R}$ $G$ $\varphi$ $\varphi (\mathbb {R} )$ $G$ $\mathbb {R}$

Grupurile cu un parametru au fost introduse de Sophus Lie în 1893 pentru a defini transformările infinitezimale. [1] Astfel de transformări infinitezimale creează o algebră Lie , folosită pentru a descrie un grup Lie de dimensiune arbitrară.

Acțiunea unui grup cu un parametru asupra unui set este cunoscută sub numele de flux . Un câmp vectorial neted pe o varietate creează un flux local , un grup cu un parametru de difeomorfisme locale care mută puncte de-a lungul curbelor integrale ale câmpului vectorial. Fluxul local al unui câmp vectorial este utilizat pentru a determina derivata de Lie pentru câmpurile tensorale de-a lungul unui câmp vectorial.

Exemple

Astfel de grupuri cu un singur parametru joacă un rol important în teoria grupurilor Lie, în care fiecare element al algebrei Lie asociate definește un homomorfism. În cazul grupurilor de matrice, homomorfismul este dat de exponentul matricei .

Un alt caz important este prezent în analiza funcțională , unde este grupul de operatori unitari dintr-un spațiu Hilbert . $G$

Într-o monografie din 1957 a Lee Group, P.M. Kohn dă următoarea teoremă:

Orice grup Lie unidimensional conex este izomorf din punct de vedere analitic fie cu grupul aditiv al numerelor reale, fie cu grupul aditiv al numerelor reale . În special, fiecare grup Lie unidimensional este izomorf local .

\mathfrak{R}

{\mathfrak {T}}

\mod 1

\mathbb {R}

Fizica

În fizică, grupurile cu un parametru sunt folosite pentru a descrie sistemele dinamice . [2] Dacă un set de legi fizice este în concordanță cu un grup cu un parametru de simetrii diferențiabile, atunci are o cantitate conservată, conform teoremei lui Noether .

În studiul spațiului-timp, utilizarea unei singure hiperbole pentru a calibra măsurătorile spațiu-timp a devenit obișnuită încă de la lucrările lui Hermann Minkowski în 1908. Dacă folosim parametrizarea unei hiperbole folosind un unghi hiperbolic, atunci în teoria relativității speciale se poate calcula mișcarea relativă folosind un grup de un parametru caracterizat prin rapiditate . În cinematica și dinamica relativiste, viteza înlocuiește conceptul de viteză. Deoarece viteza nu are o limită superioară, grupul format de aceasta nu este compact. Conceptul de viteză a fost introdus de Edmund Whittaker în 1910, iar un an mai târziu conceptul a apărut în lucrările lui Alfred Robb . Parametrul de viteză corespunde lungimii versorului hiperbolic , al cărui concept a fost introdus în secolul al XIX-lea. Fizicienii matematicieni James Cockle, William Clifford și Alexander McFerlane au folosit imaginea plană carteziană în lucrările lor folosind operatorul , unde este un unghi hiperbolic și . $(\cosh {a}+r\sinh {a})$ $A$ $r^{2}=+1$

În GL(n,ℂ)

Un exemplu important în grupul de transformare Lie apare dacă este , grupul de matrice de mărime inversabilă cu intrări complexe. În acest caz, rezultatul principal poate fi enunțat după cum urmează: [3] $G$ $\mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )$ $n\ ori n$

Teorema : Fie un grup cu un parametru. Apoi există o matrice unică de dimensiune astfel încât

\varphi :\mathbb {R} \rightarrow \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )

X

n\ ori n

\varphi (t)=e^{tX}

pentru toată lumea .

t\in \mathbb {R}

Din acest rezultat rezultă că este diferențiabilă, deși o astfel de presupunere nu este utilizată în teoremă. Matricea poate fi reconstruită ca $\varphi$ $X$ $\varphi$

\left.{\frac {d\varphi (t)}{dt))\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt)}\right|_{t =0}e^{tX}=\left.(Xe^{tX})\right|_{t=0}=Xe^{0}=X

. Acest rezultat poate fi folosit, de exemplu, pentru a arăta că orice homomorfism continuu între grupurile Lie de matrice este neted. [patru]

Note

↑ Sophus Lie (1893) Vorlesungen über Continuierliche Gruppen Arhivat la 1 februarie 2014 la Wayback Machine , traducere în engleză de D. H. Delphenich, §8, link din Neo-classical Physics
↑ Zeidler, E. (1995) Analiza funcțională aplicată: principiile principale și aplicațiile lor Springer-Verlag
↑ Hall, 2015 Teorema 2.14
↑ Hall, 2015 Corolarul 3.50

Link -uri

Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , vol. 222 (ed. a 2-a), Texte pentru absolvenți în matematică, Springer, ISBN 978-3319134666 .