Spațiu dual

Spațiul dual (uneori spațiul dual ) este spațiul funcționalelor liniare pe un spațiu vectorial dat .

Definiție

Mulțimea tuturor funcționalelor liniare continue definite pe un spațiu vectorial topologic formează, de asemenea, un spațiu vectorial. Acest spațiu se numește dual la , este de obicei notat . Mulțimea tuturor funcționalelor liniare de pe , nu neapărat continuă, se numește conjugate algebric cu , se notează de obicei [1] . $E$ $E$ $E^{*}$ $E$ $E$ $E^{\#}$

În cazul (de obicei considerat în algebra liniară) când spațiul vectorial este finit-dimensional, toate funcționalele liniare sunt automat continue, iar spațiul dual constă pur și simplu din toate funcționalele (funcțiile) liniare pe . În cazul (de obicei considerat în analiza funcțională), când infinit-dimensional, în general, [1] . $E$ $E^{*}=E^{\#}$ $E$ $E$ $E^{*}\neq E^{\#}$

În calculul tensor , denumirea este folosită pentru elemente (index superior sau contravariant ) și pentru elemente (indice inferior sau covariant ). $x^{k}$ $E$ $x_k$ $E^{*}$

Mapări duale

O mapare duală este o mapare liniară între spațiile vectoriale duale cu datele, indusă de o mapare între spațiile în sine.

Fie spații vectoriale și spații vectoriale duale. Pentru orice mapare liniară, maparea duală (în ordine inversă) este definită ca $V,W$ $V^{*},W^{*}$ $f:V\la W$ $f^{*}:W^{*}\la V^{*}$

f^{*}(\varphi )=\varphi \circ f\,

pentru orice . $\varphi \in W^{*}$

Proprietăți

Spații cu dimensiuni finite [2]

Spațiul dual are aceeași dimensiune ca și spațiul de deasupra câmpului . Prin urmare, spațiile și sunt izomorfe . $E^{*}$ $E$ $F$ $E$ $E^{*}$
Fiecare bază spațială poate fi asociată cu așa-numita bază spațială duală (sau reciprocă ) , unde funcționala este o proiecție pe un vector : $e^{1},\ldots,e^{n)$ $E$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $E^{*}$ $e_{i}$ $e^{i)$ $e_{i}(x)=e_{i}(\alpha _{1}e^{1}+\ldots +\alpha _{n}e^{n})=\alpha _{i} ,\quad \forall x\in E.$
Dacă spațiul este euclidian , adică produsul scalar este definit pe el , atunci între și există un așa-numit izomorfism canonic (adică un izomorfism care nu depinde de bazele alese), definit prin relația $E$ $E$ $E^{*}$ $v\in E\mapsto f\in E^{*},\quad f(x)=\langle x,v\rangle ,\\forall x\in E.$
Al doilea spațiu dual este izomorf la . Mai mult, există un izomorfism canonic între și (nu se presupune că spațiul este euclidian) definit prin relația $E^{{**}}$ $E$ $E$ $E^{{**}}$ $E$ $x\in E\mapsto z\in E^{**},\quad z(f)=f(x),\\forall f\in E^{*}.$
Izomorfismul canonic definit mai sus arată că spațiile și joacă un rol simetric: fiecare dintre ele este dual cu celălalt. Pentru a evidenția această simetrie, pentru este adesea scris ca un produs punctual. $E\la E^{**}$ $E$ $E^{*}$ $x\in E,\f\in E^{*}$ $f(x)=(x,f)$

Spații infinit-dimensionale

Dacă spațiul vectorial este normat , atunci spațiul dual are o normă naturală - aceasta este norma operatorului funcționalelor continue. Spațiul este Banach [3] [1] . $E$ $E^{*}$ $E^{*}$

Dacă spațiul este Hilbert , atunci conform teoremei Riesz există un izomorfism între și , și, similar cazului cu dimensiuni finite, fiecare funcțională liniară mărginită poate fi reprezentată printr-un produs interior folosind un element spațial [4] . $E$ $E$ $E^{*}$ $E$

Conjugatul cu spațiul $L^{p}$ , , este spațiul , unde . În mod similar, conjugați cu , , este cu aceeași relație între p și q . $1<p<\infty$ $L^{q}$ $1/p+1/q=1$ $l^{p}$ $1<p<\infty$ $l^{q)$

Variații și generalizări

Termenul de spațiu dual poate avea o semnificație diferită pentru spațiile vectoriale din câmpul numerelor complexe : un spațiu care coincide cu ca spațiu vectorial real , dar cu o structură diferită de înmulțire cu numere complexe: $\bar E$ $E$ ${{\bar c}}{{\bar x}}=\overline {cx}$
Dacă există o metrică hermitiană în spațiu (de exemplu, într-un spațiu Hilbert ), spațiile conjugate liniar și conjugate complexe coincid.

Vezi și

Note

↑ 1 2 3 Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională. - Orice ediție.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Linear algebra and geometry. - cap. III, § 7. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională, ed. a II-a. Moscova: Nauka, 1965, p. 147.
↑ Halmos P. Teoria măsurii. M.: Editura de literatură străină, 1953.