Funcția Digamma

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 6 decembrie 2015; verificările necesită 4 modificări .

În matematică , funcția digamma este definită ca derivata logaritmică a funcției gamma : ${\textstyle {\psi (x))}$

\psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x))).

Este o funcție poligamă de ordinul întâi, iar funcțiile poligamă de ordin superior ( funcția trigamă etc.) sunt obținute din aceasta prin diferențiere.

Proprietăți

Funcția digamma este legată de numerele armonice prin relație $\displaystyle {\psi (n)=H_{{n-1}}-\gamma },$

unde este al n -lea număr armonic și este constanta Euler-Mascheroni .

{\textstyle {H_{n))}

{\textstyle {\gamma )}

Formula de supliment $\displaystyle {\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \operatorname {ctg} (\pi x))$
Relație recurentă $\psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}$
Descompunerea într-o sumă infinită $\psi (x)=\ln x-{\frac {1}{2x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{ x^{2n}}}$

unde este funcția zeta Riemann .

\zeta (x)

Expansiunea logaritmică $\psi (x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{{k=0}}^{n}(-1 )^{k}{\binom {n}{k}}\ln(x+k)$
Teorema lui Gauss ${\frac {\Gamma '(p/q)}{\Gamma (p/q)))=-\gamma -\ln(2q)-{\frac {\pi }{2)}\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi p}{q}}\right)+2\sum _{0<n<q/2}\cos \left({\frac {2\pi pn}{ q}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{q}}\right)$

pentru numere întregi cu condiția .

p,q

0<p<q

Pentru toate , extinderile dintr-o serie sunt valabile: $z\neq -1,-2,-3,\ldots$ $\psi (z+1)=-\gamma +\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {z}{n(n+z))).$

Link -uri

Weisstein, Eric W. Digamma Function (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Proprietățile funcției digamma