Număr armonic

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 18 decembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

În matematică , al n -lea număr armonic este suma reciprocelor primelor n numere consecutive ale seriei naturale :

H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k))=1+{\frac {1}{2)}+{\frac {1} {3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}.

Numerele armonice sunt sume parțiale ale seriei armonice .

Studiul numerelor armonice a început în antichitate. Ele sunt importante în diverse domenii ale teoriei numerelor și ale teoriei algoritmilor și, în special, sunt strâns legate de funcția zeta Riemann .

Definiții alternative

Numerele armonice pot fi definite recursiv după cum urmează: ${\begin{cases}H_{n}=H_{n-1}+{\frac {1}{n}}\\H_{1}=1\end{cases}}$

Raportul este de asemenea corect: $H_{n}=\gamma +\psi (n+1)={\frac {\Gamma '(n)}{\Gamma (n)))+{\frac {1}{n))+ \gamma$ , unde este funcția digamma , este constanta Euler-Mascheroni . $\psi (n)$ $\gamma =-\psi (1)$
Mai multe rapoarte: $H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}$ $H_{n}={n}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1)}{\frac {(-1)^{k+1 }}{k^{2}}}={(-1)^{n-1}}{n}\Delta ^{n-1}{1}^{-2},$ unde în punctul este diferența finită superioară de ordinul al n -lea al funcției . $\Delta ^{n}{1}^{-2}=\Delta ^{n}{x}^{-2}$ ${x}=1$ $f(x)={\frac {1}{{x}^{2))}$

Reprezentări suplimentare

Următoarele formule pot fi utilizate pentru a calcula numerele armonice (inclusiv în alte puncte decât punctele seriei naturale):

reprezentări integrale: $H_{x}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{x}}{1-t}}dt,\quad Re(x)>-1$

reprezentări limită: $H_{x}=\lim _{n\la \infty }\left(\ln(n)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{x+k+ 1} }}\dreapta)+\gamma$ $H_{x}=x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)(x+k+1)))$ ;

expansiune într- o serie Taylor la un punct : $x=0$ $H_{x}=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)x^{k}=\zeta (2)x -\zeta (3)x^{2}+\zeta (4)x^{3}-\zeta (5)x^{4}+\cdots ,$ unde este funcția zeta Riemann ; $\zeta (x)$

expansiune asimptotică : $H_{x}=\gamma +\ln(x)+{\frac {1}{2x}}-{\frac {1}{12x^{2}}}+{\frac {1}{} 120x^{4}}}-{\frac {1}{252x^{6}}}+{\frac {1}{240x^{8}}}-{\frac {1}{132x^{10} }}+\cdots$ .

Funcție de generare

$\sum _{k=1}^{\infty }H_{k}z^{k}=-{\frac {\ln(1-z)}{1-z))$

Proprietăți

Valori dintr-un argument non-intreg

$H_{1/2}=2-2\ln 2$

$H_{1/3}=3-{\frac {3\ln 3}{2}}-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}$

$H_{1/4}=4-3\ln 2-{\frac {\pi }{2))$

$H_{1/5}=5-{\frac {5\ln 5}{4}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\ sqrt {5}}}}\pi -{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln \varphi ,$

unde este raportul de aur .

\varphi

$H_{1/7}=7-\ln 14-{\frac {\pi }{2)}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{7)}-2\cos \left( {\frac {\pi }{7}}\right)\ln \left(\cos {\frac {\pi }{14}}\right)+2\sin \left({\frac {3\pi } {14}}\right)\ln \left(\sin {\frac {\pi }{7}}\right)-2\sin \left({\frac {\pi }{14}}\right)\ în \left(\cos {\frac {3\pi }{14}}\right)$

Sume legate de numerele armonice

$\sum _{k=1}^{n}{H_{k}}=(n+1){H_{n}}-n=(n+1)({H_{n+1}} -unu)$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k}}=\infty$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}=2\zeta (3)$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{3}}}={\frac {1}{2}}\zeta (2)^ {2}={\frac {5}{4}}\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{72}}$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{4}}}=3\zeta (5)-\zeta (2)\zeta (3 )=3\zeta (5)-{\frac {\pi ^{2}}{6}}\zeta (3)$

Identități legate de numerele armonice

$(H_{n})^{3}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n} {\frac {1}{ijk))$
$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{k=j+1}^{1}{\frac {1}{ ijk))={\frac {1}{2}}H_{n}(H_{n}^{2}-\zeta _{n}(2))$ , Unde $\zeta _{n}(2)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2))}$
$\zeta _{n}(2)=(H_{n})^{2}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {2H_{k}}{k+ 1 }}-1$ , Unde $\zeta _{n}(2)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2))}$
$H_{n^{2}}+1=(H_{n})^{2}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(H_{(k+1)^ {2}-1}-{\frac {2H_{k}}{k+1}}-H_{k^{2}}\right)$

Calcul aproximativ

Folosind formula de însumare Euler-Maclaurin, obținem următoarea formulă:

H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}+\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2kn ^{2k))}-\theta _{m,n}{\frac {B_{2m+2}}{(2m+2)n^{2m+2}}},

unde , este constanta Euler , care poate fi calculată mai rapid din alte considerații $0<\theta _{m,n}<1$ $\gamma$ [ ce? ] , și sunt numerele Bernoulli . $B_{k}$

Proprietăți teoretice numere

Teorema lui Wolstenholm afirmă că pentru orice număr prim , comparația este valabilă: $p>3$ $H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2)}}.$

Câteva semnificații ale numerelor armonice

{\begin{matrix}H_{1}&=&1\\\\H_{2}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{,}5\\\\H_{ 3}&=&{\frac {11}{6}}&\aproximativ &1{,}833\\\\H_{4}&=&{\frac {25}{12}}&\aproximativ &2{, }083\\\\H_{5}&=&{\frac {137}{60}}&\aproximativ &2{,}283\end{matrice}}

{\begin{matrix}H_{6}&=&{\frac {49}{20}}&=&2{,}45\\\\H_{7}&=&{\frac {363} {140}}&\aproximativ &2{,}593\\\\H_{8}&=&{\frac {761}{280}}&\aproximativ &2{,}718\\\\H_{10^{ 3}}&\aproximativ &7{,}485\\\\H_{10^{6}}&\aproximativ &14{,}393\end{matrice}}

Numătorul și numitorul fracției ireductibile , care este numărul armonic al n -lea, sunt membrii al n -lea ai secvențelor întregi A001008 și , respectiv, A002805 .

Aplicații

În 2002, Lagarias a demonstrat [1] că ipoteza Riemann despre zerourile funcției zeta Riemann este echivalentă cu a spune că inegalitatea

\sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{{H_{n}}}

este adevărată pentru toate numerele întregi cu inegalitate strictă pentru , unde este suma divizorilor lui . $n\geq 1$ $n>1$ $\sigma (n)$ $n$

Vezi și

teorema lui Wolstenholme

Note

↑ Jeffrey Lagarias. O problemă elementară echivalentă cu ipoteza Riemann // Amer. Matematică. Lunar. - 2002. - Nr. 109 . - S. 534-543 .