Discountinum

Discontinuum este un compact perfect zero-dimensional [1] .

Exemple

Primul exemplu de discontinuum a fost descoperit de Georg Cantor - setul Cantor . Discontinuum-uri cu proprietăți interesante în spațiul euclidian tridimensional au fost construite de Pavel Uryson și Louis Antoine . Astfel, colierul lui Antoine este un discontinuu, complementul căruia nu se leagă pur și simplu .

Proprietăți

Toate discontinuele sunt homeomorfe pentru setul Cantor.
Fiecare set compact metrizabil este o imagine continuă a unui set Cantor.
Fiecare set compact perfect metrizabil conține un set Cantor.
- Prin urmare, fiecare set compact metrizabil este fie numărabil , fie are cardinalitatea continuumului .

Note

↑ O mulțime compactă este zero-dimensională dacă, pentru orice pereche de puncte , ea poate fi reprezentată ca suma a două submulțimi închise disjunse , pentru care $K$ $a,b\in K$ $K_{1}\cup K_{2}$ $a\in K_{1},b\in K_{2)$

Literatură

Aleksandrov PS Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală. — M .: GIITL, 1948.
Sobolev VI Prelegeri pe capitole suplimentare de analiză matematică. — M .: Nauka, 1968.
Uryson PS Despre varietățile Cantor, Partea 1 // Proceedings on topologie și alte domenii ale matematicii. - M. - L. : GITTL, 1954. - T. 1.