Set perfect

O mulțime perfectă este o mulțime închisă care nu are puncte izolate , adică coincide cu mulțimea tuturor punctelor sale limită.

Exemple

Proprietăți

Teorema Cantor-Bendixon

Teorema Cantor-Bendixon este o afirmație despre structura oricărei mulțimi închise nenumărate . Această teoremă este generalizată în cazul submulților unui spațiu metric cu o bază numărabilă (vezi teorema Lindelöf )

Formulare

Orice mulțime închisă nenumărabilă este suma unui set perfect al punctelor sale de condensare și nu mai mult decât un set numărabil de alte puncte.

Dovada

Demonstrarea se bazează pe trei teoreme. Rezultă din teoremele 2 și 3. Pentru a-l demonstra, este suficient să observăm că mulțimea punctelor de condensare datorate închiderii lui .

Teorema 1

Pentru ca un punct să fie un punct de condensare al mulţimii , este necesar şi suficient ca orice vecinătate raţională a punctului să conţină o mulţime nenumărabilă de puncte din .

Explicații

O vecinătate rațională a unui punct este orice interval cu capete raționale care conțin acest punct, care poate să nu fie centrul intervalului.

Dovada Necesitate

Fie un punct de condensare și o vecinătate rațională arbitrară a punctului . Să alegem . Atunci vecinătatea punctului va cădea în întregime în . Deoarece este un punct de condensare, atunci , și astfel și , vor conține un set nenumărat de puncte din .

Suficiență

Fie orice vecinătate rațională a unui punct să conțină un set nenumărat de puncte din . Se consideră o vecinătate arbitrară a punctului și fie și două numere raționale situate respectiv între și și între și . Apoi, un cartier complet rațional va cădea în cartier și, împreună cu acesta, un set nenumărat de puncte din . Dar asta înseamnă că există un punct de condensare.

Teorema 2 Formulare

Fiecare set nenumărabil conține un set nenumărat de puncte de condensare .

Dovada

Fie un set de puncte din care nu sunt puncte de condensare ale multimii . Dacă , atunci nu există nimic de demonstrat. Lasă și . Deoarece nu este un punct de condensare, există o vecinătate rațională a punctului care conține cel mult un set numărabil de puncte din , inclusiv puncte din . Astfel, întreaga mulțime poate fi închisă într-un sistem de intervale raționale, fiecare dintre acestea nu conține mai mult de un număr numărabil de puncte din . Deoarece există o mulțime numărabilă a tuturor intervalelor raționale, rezultă că este , de asemenea, cel mult numărabilă. Apoi — setul de puncte de condensare al setului este de nenumărat.

Teorema 3 Formulare

Setul de puncte de condensare a unui set nenumărat este perfect.

Dovada

Să arătăm mai întâi că este închis. Fie și un interval rațional arbitrar care conține punctul . Pentru un interval suficient de mic , intervalul va cădea în întregime în interior . Deoarece este un punct limită pentru un set de puncte de condensare, acesta conține cel puțin un punct de condensare și, împreună cu acesta, o vecinătate a punctului . Dar atunci această vecinătate, și, prin urmare, de asemenea , conține un set nenumărat de puncte din , și deoarece este o vecinătate rațională arbitrară a punctului , adică punctul de condensare, adică . Să arătăm că nu conține puncte izolate. Fie un punct arbitrar de la și fie o vecinătate arbitrară a punctului . Atunci acest cartier conține un set nenumărat de puncte din . Luați în considerare un set nenumărat . Prin teorema 1, acesta conține un set nenumărat de puncte de condensare. Fiecare punct de condensare pentru este în același timp un punct de condensare pentru . Prin urmare, un set nenumărat de puncte din , și, prin urmare, nu este un punct izolat al acestui set, intră în interior.

Note

  1. Shilov G.E. Analiza matematică. Curs special. - M. : Nauka, 1961. - S. 65. - 436 p.

Literatură

  • Sobolev VI  Prelegeri pe capitole suplimentare de analiză matematică. - M .: Nauka, 1968. - S. 79.