Set perfect

O mulțime perfectă este o mulțime închisă care nu are puncte izolate , adică coincide cu mulțimea tuturor punctelor sale limită.

Exemple

Exemplul clasic al unui set perfect dens nicăieri este setul Cantor .

Proprietăți

Orice mulțime perfectă nevidă a spațiului euclidian are cardinalitatea continuumului (o generalizare a teoremei lui Cantor că fiecare mulțime perfectă pe un segment al axei reale are cardinalitatea continuumului) [1] .
Setul de puncte de condensare a oricărui set este perfect.

Teorema Cantor-Bendixon

Teorema Cantor-Bendixon este o afirmație despre structura oricărei mulțimi închise nenumărate . Această teoremă este generalizată în cazul submulților unui spațiu metric cu o bază numărabilă (vezi teorema Lindelöf )

Formulare

Orice mulțime închisă nenumărabilă este suma unui set perfect al punctelor sale de condensare și nu mai mult decât un set numărabil de alte puncte. $M$

Dovada

Demonstrarea se bazează pe trei teoreme. Rezultă din teoremele 2 și 3. Pentru a-l demonstra, este suficient să observăm că mulțimea punctelor de condensare datorate închiderii lui . $N\subset M$ $M$

Teorema 1

Pentru ca un punct să fie un punct de condensare al mulţimii , este necesar şi suficient ca orice vecinătate raţională a punctului să conţină o mulţime nenumărabilă de puncte din . $A$ $M$ $A$ $M$

Explicații

O vecinătate rațională a unui punct este orice interval cu capete raționale care conțin acest punct, care poate să nu fie centrul intervalului. $A$

Dovada Necesitate

Fie un punct de condensare și o vecinătate rațională arbitrară a punctului . Să alegem . Atunci vecinătatea punctului va cădea în întregime în . Deoarece este un punct de condensare, atunci , și astfel și , vor conține un set nenumărat de puncte din . $A$ $(r',r'')$ $A$ $\delta <\min(|r'-a|,|r''-a|)$ $(a-\delta, a+\delta)$ $A$ $(r',r'')$ $A$ $(a-\delta, a+\delta)$ $(r',r'')$ $M$

Suficiență

Fie orice vecinătate rațională a unui punct să conțină un set nenumărat de puncte din . Se consideră o vecinătate arbitrară a punctului și fie și două numere raționale situate respectiv între și și între și . Apoi, un cartier complet rațional va cădea în cartier și, împreună cu acesta, un set nenumărat de puncte din . Dar asta înseamnă că există un punct de condensare. $A$ $M$ $(a-\delta, a+\delta)$ $A$ $r'$ $r''$ $a-\delta$ $A$ $A$ $a+\delta$ $(a-\delta, a+\delta)$ $(r',r'')$ $M$ $A$

Teorema 2 Formulare

Fiecare set nenumărabil conține un set nenumărat de puncte de condensare . $M$

Dovada

Fie un set de puncte din care nu sunt puncte de condensare ale multimii . Dacă , atunci nu există nimic de demonstrat. Lasă și . Deoarece nu este un punct de condensare, există o vecinătate rațională a punctului care conține cel mult un set numărabil de puncte din , inclusiv puncte din . Astfel, întreaga mulțime poate fi închisă într-un sistem de intervale raționale, fiecare dintre acestea nu conține mai mult de un număr numărabil de puncte din . Deoarece există o mulțime numărabilă a tuturor intervalelor raționale, rezultă că este , de asemenea, cel mult numărabilă. Apoi — setul de puncte de condensare al setului este de nenumărat. $R$ $M$ $M$ $R=\varnothing$ $R\neq \varnothing$ $x \în R$ $X$ $(r'_{x},r''_{x})$ $X$ $M$ $R$ $R$ $R$ $R$ $M\backslash R$ $M$

Teorema 3 Formulare

Setul de puncte de condensare a unui set nenumărat este perfect. $N$ $M$

Dovada

Să arătăm mai întâi că este închis. Fie și un interval rațional arbitrar care conține punctul . Pentru un interval suficient de mic , intervalul va cădea în întregime în interior . Deoarece este un punct limită pentru un set de puncte de condensare, acesta conține cel puțin un punct de condensare și, împreună cu acesta, o vecinătate a punctului . Dar atunci această vecinătate, și, prin urmare, de asemenea , conține un set nenumărat de puncte din , și deoarece este o vecinătate rațională arbitrară a punctului , adică punctul de condensare, adică . Să arătăm că nu conține puncte izolate. Fie un punct arbitrar de la și fie o vecinătate arbitrară a punctului . Atunci acest cartier conține un set nenumărat de puncte din . Luați în considerare un set nenumărat . Prin teorema 1, acesta conține un set nenumărat de puncte de condensare. Fiecare punct de condensare pentru este în același timp un punct de condensare pentru . Prin urmare, un set nenumărat de puncte din , și, prin urmare, nu este un punct izolat al acestui set, intră în interior. $N$ $x\in N'$ $(r'_{x},r''_{x})$ $X$ $\delta$ $(x-\delta,x+\delta)$ $(r'_{x},r''_{x})$ $X$ $(x-\delta,x+\delta)$ $x_{{0}}$ $x_{{0}}$ $(r'_{x},r''_{x})$ $M$ $(r'_{x},r''_{x})$ $X$ $X$ $x\in N$ $N$ $x_{{0}}$ $N$ $(x_{0}-\eta,x_{0}+\eta)$ $x_{{0}}$ $M$ $M_{1}=M\cap (x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta )$ $M_{{1}}$ $M$ $(x_{0}-\eta,x_{0}+\eta)$ $N$ $x_{{0}}$

Note

↑ Shilov G.E. Analiza matematică. Curs special. - M. : Nauka, 1961. - S. 65. - 436 p.

Literatură

Sobolev VI Prelegeri pe capitole suplimentare de analiză matematică. - M .: Nauka, 1968. - S. 79.