Difeomorfism

Un difeomorfism este o mapare de un anumit tip între varietăți netede.

Definiție

Un difeomorfism este o mapare unu-la-unu și lină a unei varietăți netede într-o varietate netedă , a cărei inversă este, de asemenea, netedă. $f\colon M\la N$ $M$ $N$

De obicei , netezimea este înțeleasă ca -netezime, cu toate acestea, difeomorfismele cu un alt tip de netezime, în special, clasa pentru orice natural , pot fi definite în același mod . $C^\infty$ $C^k$ $k$

Exemple

Cele mai simple exemple de difeomorfisme sunt transformările liniare (afine) nedegenerate ale spațiilor vectoriale (respectiv, afine) de aceeași dimensiune.

Definiții înrudite

Dacă există un difeomorfism pentru și , atunci spunem că și sunt difeomorfe . $M$ $N$ $f\colon M\la N$ $M$ $N$
- Această relație este de obicei desemnată ca . $M\cong N$
- Rețineți că numai varietățile de aceeași dimensiune pot fi difeomorfe.

Setul de difeomorfisme ale unei varietăți în sine formează un grup numit grup de difeomorfisme și notat cu . $M$ $M$ $\operatorname {Dif.} \,M$

O mapare se numește difeomorfism local la un punct dacă restricția sa la o vecinătate a punctului este un difeomorfism la o vecinătate a punctului . $f\colon M\la N$ $x\în M$ $X$ $y=f(x)\in N$

Proprietăți

Orice difeomorfism este un homeomorfism.
- Reversul nu este adevărat. Mai mult, există varietăți netede homeomorfe, dar nu difeomorfe (cum ar fi sfera exotică ).
O mapare unu-la-unu este un difeomorfism dacă și numai dacă este o mapare lină și jacobianul său nu este nicăieri zero. $f\colon M\la N$ $f$

Vezi și

Homeomorfismul

Literatură

Zorich V. A. Analiză matematică. — M .: Fizmatlit , 1984. — 544 p.
Milnor J., Wallace A. Topologie diferențială (curs inițial), - Orice ediție.
Hirsch M. Topologie diferențială, - Orice ediție.
Spivak M. Analiza matematică asupra varietăților. — M.: Mir, 1968.