Orb exotic

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 22 martie 2021; verificările necesită 2 modificări .

O sferă exotică este o varietate netedă M care este homeomorfă , dar nu difeomorfă față de sfera n standard .

Istorie

Primele exemple de sfere exotice au fost construite de John Milnor în dimensiunea 7; a demonstrat că există cel puțin 7 structuri netede distincte. Se știe acum că există 28 de structuri netede diferite pe cea orientată (15 fără a lua în considerare orientarea). $S^{7}$ $S^{7}$

Aceste exemple, așa-numitele sfere Milnor , au fost găsite printre pachetele spațiale de peste . Astfel de mănunchiuri sunt clasificate după două numere întregi și după elementul . Unele dintre aceste fascicule sunt homeomorfe pentru sfera standard, dar nu difeomorfe pentru aceasta. $S^{3}$ $S^{4)$ $A$ $b$ $\mathbb {Z} ^{2}=\pi _{3}(\mathrm {SO} (4))$ $M_{a,b}$

Deoarece sunt pur și simplu conectate, conform conjecturii generalizate Poincare , verificarea homeomorfismului și se reduce la numărarea omologiei ; această condiţie impune anumite condiţii asupra şi . $M_{a,b}$ $M_{a,b}$ $S^{7}$ $M_{a,b}$ $A$ $b$

În demonstrarea non-difeomorfismului, Milnor argumentează prin contradicție . El observă că varietatea este limita unei varietăți cu 8 dimensiuni - spațiul pachetului de discuri peste . În plus, dacă este diferită față de sfera standard, atunci poate fi lipită cu o minge, obținându-se o varietate 8 netedă închisă. Calcularea semnăturii varietății rezultate în ceea ce privește numerele sale Pontryagin duce la o contradicție. $M_{a,b}$ $W_{a,b)$ $D^{4)$ $S^{4)$ $M_{a,b}$ $W_{a,b)$

Clasificare

O sumă conexă a două sfere n - dimensionale exotice este, de asemenea, o sferă exotică. Operația de sumă conectată transformă diferite structuri netede pe o sferă n - dimensională orientată într-un monoid , numit monoid al sferelor exotice .

n ≠ 4

Căci se știe că monoidul sferelor exotice este un grup abelian , numit grupul sferelor exotice . $n\neq 4$

Acest grup este banal pentru . Adică, în aceste dimensiuni, existența unui homeomorfism pe sfera standard implică existența unui difeomorfism pe . Pentru , este izomorfă la un grup ciclic de ordinul 28. Adică, există o sferă exotică cu 7 dimensiuni, astfel încât orice sferă exotică cu 7 dimensiuni este difeomorfă la o sumă conexă a mai multor copii ale lui ; în plus, suma conexă de 28 de copii este difeomorfă cu sfera standard . $n=1,2,3,5,6$ $S^{n}$ $S^{n}$ $n=7$ $\Sigma ^{7}$ $\Sigma ^{7}$ $\Sigma ^{7}$ $S^{7}$

Grupul de sfere exotice este izomorf cu grupul Θ n al claselor de h -cobordism orientate ale sferei n homotopie . Acest grup este finit și abelian.

Grupul are un subgrup ciclic $\Theta_n$

bP_{n+1}

corespunzatoare -sferelor care legau varietatile paralelizabile . $n$

Dacă n este par , atunci grupul este trivial, $bP_{n+1}$
Dacă , atunci grupul are ordinul 1 sau 2 $n\equiv 1{\pmod {4}}$ $bP_{n+1}$
- Are ordinul 1 când n = 1, 5, 13, 29 sau 61.
- Are comanda 2 la , dacă în același timp $n\equiv 1{\pmod {4}}$ $n\neq 2^{k}-3$
Dacă , adică , atunci când ordinul este egal cu $n\equiv 3{\pmod {4}}$ $n+1=4m$ $m\geq 2$
- $|bP_{4m}|=2^{2m-2}(2^{2m-1}-1)B$ ,

unde este numărătorul fracției , sunt numerele Bernoulli . (Uneori formula este ușor diferită din cauza diferitelor definiții ale numerelor Bernoulli.)

B

|4B_{2m}/m|

B_{{2m}}

Grupurile de factori sunt descrise în termeni de grupuri stabile de homotopie de sfere modulo imaginea unui J-homomorfism ). Mai exact, există un homomorfism injectiv $\Theta _{n}/bP_{n+1}$

\Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J

unde este al n -lea grup stabil de sfere de homotopie și este imaginea homomorfismului J. Acest homomorfism este fie un izomorfism, fie are o imagine cu indicele 2. Acesta din urmă se întâmplă dacă și numai dacă există o varietate paralelizabilă n - dimensională cu invariantul Kervaire 1. $\pi _{n}^{S)$ $J$

Întrebarea existenței unei astfel de varietăți se numește problema Kerver. Din 2012, aceasta nu a fost rezolvată doar pentru cazul . Variante cu invariantul Kervaire 1 au fost construite în dimensiunile 2, 6, 14, 30 și 62. $n=126$

Dimensiunea n	unu	2	3	patru	5	6	7	opt	9	zece	unsprezece	12	13	paisprezece	cincisprezece	16	17	optsprezece	19	douăzeci
Comanda Θn	unu	unu	unu	unu	unu	unu	28	2	opt	6	992	unu	3	2	16256	2	16	16	523264	24
Comanda bP n +1	unu	unu	unu	unu	unu	unu	28	unu	2	unu	992	unu	unu	unu	8128	unu	2	unu	261632	unu
Ordinea Θ n / bP n +1	unu	unu	unu	unu	unu	unu	unu	2	2×2	6	unu	unu	3	2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
Ordinea π n S / J	unu	2	unu	unu	unu	2	unu	2	2×2	6	unu	unu	3	2×2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
Index	-	2	-	-	-	2	-	-	-	-	-	-	-	2	-	-	-	-	-	-

Alte valori din acest tabel pot fi calculate din informațiile de mai sus împreună cu un tabel cu grupuri stabile de sfere de homotopie.

În dimensiuni ciudate, sferele și numai ele au o singură structură netedă. Wang și Xu (2017 ) $\mathbb {S} ^{1},\mathbb {S} ^{3},\mathbb {S} ^{5},\mathbb {S} ^{61)$

n = 4

În dimensiune , practic nu se știe nimic despre monoidul sferelor netede, cu excepția faptului că este finit sau numărabil infinit și abelian. Nu se știe dacă există structuri exotice netede pe 4-sferă. Afirmația că acestea nu există este cunoscută sub numele de „conjectura netedă a Poincaré”. $n=4$

Așa-numita răsucire Gluck constă în tăierea unei vecinătăți tubulare a celei 2 sfere S 2 în S 4 și lipirea acesteia înapoi folosind un difeomorfism al limitei sale . Rezultatul este întotdeauna homeomorf la S 4 , dar în cele mai multe cazuri nu se știe dacă este difeomorf la S 4 . $S^{2}\times S^{1}$

Sfere răsucite

Să fie dat un difeomorfism care păstrează orientarea. Prin lipirea a două copii ale mingii de-a lungul cartografierii dintre granițe, obținem așa-numita sferă aglomerată de un difeomorfism . Sfera răsucită este homeomorfă pentru sfera standard, dar, în general, nu este diferită pentru aceasta. $f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}$ $f$ $f$

Cu alte cuvinte, o varietate se numește sferă răsucită dacă admite o funcție Morse cu exact două puncte critice.

Pentru n ≠ 4 orice sferă exotică este difeomorfă cu o sferă răsucită.
Pentru n = 4 orice sferă răsucită este difeomorfă față de una standard.

Vezi și

Link -uri

Akbulut, Selman (2009), sferele de homotopie Cappell–Shaneson sunt standard , arXiv : 0907.0136
Brieskorn, Egbert V. (1966), „Exemple of singular normal complex spaces which are topological multiples”, Proceedings of the National Academy of Sciences 55 (6): 1395–1397, doi : 10.1073/pnas.55.6.1395 , MR 0198497 , PMC 224331 , PMID 16578636
Brieskorn, Egbert (1966b), „Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten”, Invent. Matematică. 2 (1): 1–14, doi : 10.1007/BF01403388 , MR 0206972
Browder, William (1969), „The Kervaire invariant of framed multiples and its generalization”, Annals of Mathematics 90 (1): 157–186, doi : 10.2307/1970686 , JSTOR 1970686 , MR 0251736
Freedman, Michael; Gompf, Robert; Morrison, Scott; Walker, Kevin (2010), „Omul și mașina se gândesc la conjectura netedă de Poincaré 4-dimensional”, Topologie cuantică 1 (2): 171–208, arXiv : 0906.5177 , doi : 10.4171/qt/5
Gluck, Herman (1962), „The embedding of two-spheres in the four-sphere”, Transactions of the American Mathematical Society 104 (2): 308–333, doi : 10.2307/1993581 , JSTOR 1993581 , MR 014680
Hirzebruch, Friedrich; Mayer, Karl Heinz (1968), O(n)-Mannigfaligkeiten, Exotische Sphären und Singularitäten , Lecture Notes in Mathematics 57 , Berlin-New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/ BFb0074355 9251022MR , ale varietăţilor complexe .
Kervaire, Michel A .; Milnor, John W. (1963). „Grupuri de sfere de homotopie: I” (PDF). Analele matematicii ( Princeton University Press ) 77 (3): 504–537. doi : 10.2307/1970128 . JSTOR 1970128 . MR 0148075 . – Această lucrare descrie structura grupului de structuri netede pe sfera n pentru n >4. Din păcate, articolul anunțat anterior „Groups of Homotopy Spheres: II” nu a fost niciodată publicat, dar materialele de prelegere ale lui Levin conțin ceea ce se pare că ar fi putut conține.
Levine, JP (1985), „Prelegeri despre grupuri de sfere de homotopie”, Topologie algebrică și geometrică , Note de curs în matematică 1126 , Berlin-New York: Springer-Verlag, pp. 62–95, doi : 10.1007/BFb0074439 , MR 8757031
Milnor, John W. (1956), „On manifolds homeomorphic to the 7-sphere”, Annals of Mathematics 64 (2): 399–405, doi : 10.2307/1969983 , JSTOR 1969983 , MR 0082103
- J. Milnor. Pe varietăți homeomorfe la o sferă cu șapte dimensiuni // Matematică . - 1957. - Nr 3 . - S. 35-42 .
Milnor, John W. (1959), "Sommes de variétes différentiables et structures différentiables des sphères" , Bulletin de la Société Mathématique de France 87 : 439–444, MR 0117744
Milnor, John W. (1959b), „Differentiable structures on spheres”, American Journal of Mathematics 81 (4): 962–972, doi : 10.2307/2372998 , JSTOR 2372998 , MR 0110107
Milnor, John (2000), „Clasificarea ( n − 1)-conectate 2 n -dimensiuni varietăți și descoperirea sferelor exotice”, în Cappell, Sylvain; Ranick, Andrew; Rosenberg, Jonathan, Surveys on Surgery Theory: Volume 1 , Annals of Mathematics Studies 145, Princeton University Press, pp. 25–30, ISBN 9780691049380, MR 1747528
Milnor, John Willard (2009), „Acum cincizeci de ani: topologia varietăților în anii 50 și 60”, în Mrowka, Tomasz S.; Ozsvath., Peter S., Topologie cu dimensiuni joase. Note de curs de la a 15-a școală de vară pentru absolvenți a Institutului de Matematică din Park City (PCMI), care a avut loc în Park City, UT, vara 2006. (PDF), IAS/Park City Math. Ser. 15 , Providence, R.I.: Amer. Matematică. Soc., pp. 9–20, ISBN 978-0-8218-4766-4, MR 2503491
Milnor, John W. (2011), „Topologie diferențială patruzeci și șase de ani mai târziu” (PDF), Notices of the American Mathematical Society 58 (6): 804–809
Rudyak, Yu.B. (2001), „Sfera Milnor” (link indisponibil) , în Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Wang, Guozhen & Xu, Zhouli (2017), Triviality of the 61-stem in the stable homotopy groups of spheres , Annals of Mathematics vol. 186 (2): 501–580 , DOI 10.4007/annals.2017.186.2 .

Link- uri externe

Sfere exotice pe Manifold Atlas (link descendent din 06-05-2016 [2373 de zile])
Tărâmuri exotice. Materiale sursă legate de tărâmuri exotice.
Animații și 7 sfere de fapt exotice - videoclip din discursul lui Niles Johnson de la a doua conferință Abel .
Gluck_construcție