Incluziune diferențială (matematică)

Incluziunea diferențială este o generalizare a conceptului de ecuație diferențială :

{\frac {dx}{dt}}\în F(t,x),\qquad (*)

unde partea dreaptă (*) este o mapare cu mai multe valori care asociază fiecare pereche de variabile cu o mulțime compactă nevidă în spațiu.O soluție a unei incluziuni diferențiale (*) este de obicei numită funcție absolut continuă care satisface o includere dată pentru aproape toate valorile.O astfel de definiție a unei soluții este asociată în primul rând cu aplicațiile incluziunilor diferențiale în teoria controlului. $t\in \mathbb {R}$ $x \in \mathbb{R}^n$ $F(t, x)$ $\mathbb{R}^n.$ $x(t),$ $t.$

Originea teoriei incluziunilor diferențiale este de obicei asociată cu numele matematicianului francez Marchaud și al matematicianului polonez Stanislaw Zaremba (lucrări de la mijlocul anilor 1930), cu toate acestea, un larg interes pentru ele a apărut abia după descoperirea principiului maxim Pontryagin. şi dezvoltarea intensivă a teoriei controlului optim asociată acesteia. Incluziunile diferențiale sunt, de asemenea, folosite ca instrument pentru studierea ecuațiilor diferențiale cu partea dreaptă discontinuă ( A.F. Filippov ) și în teoria jocurilor diferențiale ( N.N. Krasovskii ).

Conectarea incluziunilor diferențiale cu sisteme controlate

Luați în considerare un sistem controlat

{\frac {dx}{dt}}=f(t,x,u),\quad u(t)\în U,\qquad (**)

unde există un subset compact. Sistemul (**) poate fi scris ca o includere diferențială (*) prin setarea . În ipoteze destul de generale, un sistem controlat (**) este echivalent cu o includere diferențială (*), adică pentru orice soluție de includere (*) există un control atât de admisibil încât funcția va fi traiectoria sistemului (**) cu acest control. Această afirmație se numește lema lui A.F. Filippov. $U\subset \mathbb {R} ^{m)$ $F(t,x)=f(t,x,U)=\{f(t,x,u)\:\\forall u\in U\)$ $x(t)$ $u(t)\în U,$ $x(t)$

Concepte înrudite

Contingenta ( derivata contingent ) si paratingenta sunt generalizari ale conceptului de derivat introduse in anii 1930.

Contingența unei funcții vectoriale într-un punct este mulțimea tuturor punctelor limită ale secvențelor $x(t)$ $t_0$ ${\textrm {Continuare}}\ x(t_{0})$

{\frac {x(t_{i})-x(t_{0})}{t_{i}-t_{0}}},\quad t_{i}\to t_{0},\ quad i=1,2,\ldots

Paratingența unei funcții vectoriale într-un punct este mulțimea tuturor punctelor limită ale secvențelor $x(t)$ $t_0$ ${\textrm {Parat))\ x(t_{0})$

{\frac {x(t_{i})-x(t_{j})}{t_{i}-t_{j}}},\quad t_{i}\to t_{0},\ quad t_{j}\la t_{0},\quad i,j=1,2,\ldots

Contingența și paratingența sunt exemple de mapări cu mai multe valori . De exemplu, pentru o funcție într-un punct, mulțimea este formată din două puncte: iar mulțimea este un segment $x(t)=|t|$ $t_{0}=0$ ${\textrm {Continuare}}\ x(0)$ $\pm1,$ ${\textrm {Parat))\ x(0)$ $[-1,+1].$

În general, întotdeauna . Dacă există o derivată obișnuită, atunci și dacă derivata obișnuită există într-o vecinătate a punctului și este continuă în acest punct însuși, atunci . ${\textrm {Cont}}\subset {\textrm {Parat}}$ $x'(t_{0}),$ ${\textrm {Cont}}\ x(t_{0})=x'(t_{0}),$ $x'(t)$ $t_0$ ${\textrm {Cont}}\ x(t_{0})={\textrm {Parat}}\ x(t_{0})=x'(t_{0})$

Literatură

Borisovich Yu. G., Gelman B. D., Myshkis A. D. , Obukhovskiy V. V. Introducere în teoria mapărilor multivalorice și incluziunilor diferențiale, — Orice ediție.
Blagodatskikh V. I. Introducere în controlul optim, Școala Superioară, Moscova, 2001.
Blagodatskikh V. I., Filippov A. F. Incluziuni diferențiale și control optim , — Tr. MIAN, vol. 169 (1985).
Ioffe A. D., Tikhomirov V. M. Teoria problemelor extreme, Fizmatlit, Moscova, 1974.
A. F. Filippov . La unele chestiuni de control optim. - Buletinul Universității de Stat din Moscova, Matem. şi mech., N2 (1959).
A. F. Filippov. Ecuații diferențiale cu partea dreaptă discontinuă. — M .: Nauka, 1985.
A. cellina . O VIZIUNE PRIVIND INCLUZIILE DIFERENȚIALE , -Rend . Sem. Mat. Univ. Paul Torino - Vol. 63, 3 (2005).