Continuitate absolută

Continuitatea absolută este o proprietate a funcțiilor și măsurilor în analiza matematică , care, informal vorbind, este îndeplinirea teoremei Newton-Leibniz privind legătura dintre integrare și diferențiere . De obicei această teoremă este formulată în termenii integralei Riemann și include în condițiile sale integrabilitatea derivatei în sensul lui Riemann. Când se trece la o integrală Lebesgue mai generală , cerința naturală pentru existența unei derivate măsurabile aproape peste tot devine prea slabă și, pentru ca relația similară cu teorema Newton-Leibniz să se țină, este nevoie de o condiție mai subtilă, care este numit continuitate absolută . Acest concept este transferat la măsuri cu ajutorul derivatului Radon-Nikodim .

Funcții absolut continue

O funcție se numește funcție absolut continuă pe un interval finit sau infinit , dacă pentru oricare există astfel încât pentru orice mulțime finită de intervale disjunse în perechi din domeniul funcției care îndeplinește condiția , inegalitatea [1] este satisfăcută . $f\stânga(x\dreapta)$ $\varepsilon > 0$ $\delta>0$ $\left(x_{i},y_{i}\right)$ $f$ $\sum _{i=1}^{n}\left|y_{i}-x_{i}\right|<\delta$ $\sum _{i=1}^{n}\left|f\left(y_{i}\right)-f\left(x_{i}\right)\right|<\varepsilon$

O funcție care este absolut continuă pe un interval este uniform continuă și, prin urmare, continuă . Reversul nu este adevărat.

Proprietăți

Fiecare funcție absolut continuă are variații mărginite pe intervale de lungime finită .

Funcțiile absolut continue formează un spațiu vectorial . Mai mult, ele formează un subspațiu închis în spațiul funcțiilor de variație mărginită.

Produsul funcțiilor care sunt absolut continue pe un interval de lungime finită dă o funcție absolut continuă.

Fiecare funcție absolut continuă poate fi reprezentată ca diferența a două funcții absolut continue nedescrescătoare.

Lasă o funcție absolut continuă pe . Apoi este diferențiabilă aproape peste tot; derivata generalizată este Lebesgue integrabilă și egalitatea este valabilă pentru toate : $F$ $[a,b]$ $F'$ $x\în[a,b]$ $\int \limits _{a}^{x}{F'(t)\,dt}=F(x)-F(a)$ .

Dimpotrivă, o funcție care are o derivată generalizată integrabilă Lebesgue pe un interval este absolut continuă pe ea, până la un set de măsură Lebesgue zero.

Dacă o funcție este absolut continuă pe un segment și absolut continuă pe un segment care conține toate valorile lui , atunci pentru ca o suprapunere să fie absolut continuă este necesar și suficient ca aceasta să fie o funcție de variație mărginită ( teorema lui Fichtengolz ). $f(x)$ $[a,b]$ $F(y)$ $f(x)$ $F[f(x)]$

Fiecare funcție absolut continuă are proprietatea Luzin .
O variație a unei funcții absolut continue este absolut continuă. $V_{a}^{x}(f)$ $f$
Fie și să fie absolut continuu pe , atunci formula clasică de integrare pe părți este valabilă pentru ei. $f$ $g$ $[a,b]$
Să fie diferențiabilă în fiecare punct al segmentului (este important ca exact în fiecare punct) și să fie integrabilă în sensul lui Lebesgue, apoi să fie absolut continuă. $f$ $[a,b]$ $f'$ $[a,b]$ $f$

Exemple

Orice funcție Lipschitz este absolut continuă.

Următoarele funcții sunt continue, dar nu absolut continue

funcția Cantor ;
funcţie

f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{dacă }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{dacă }}x\neq 0\end{ cazuri}}

pe intervale finite care conțin 0;

funcţia pe intervale nemărginite. $f(x)=x^{2}$

Vezi și

Note

↑ Bogachev V. I. , Smolyanov O. G. Analiză reală și funcțională: curs universitar. - M.-Izhevsk: Centrul de cercetare „Dinamica obișnuită și haotică”, Institutul de Cercetări Calculatoare, 2009. - P. 188. - 724 p. - ISBN 978-5-93972-742-6 .

Literatură

Nikolsky S.M. Curs de analiză matematică. - al 3-lea. — M .: Nauka , 1983 . - T. 2. - 544 str. — ISBN 5-02-014425-8 .
Shilov G.E. Analiza matematică. Curs special. - al 2-lea. — M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 p.