Display cu mai multe valori
Maparea multivalorică este un fel de concept matematic de mapare ( funcție ). Fie și să fie mulțimi arbitrare și să fie colecția tuturor submulțimii ale mulțimii . O mapare cu mai multe valori de la o mulțime la este orice mapare.
De obicei , domeniul unei mapări cu mai multe valori este submulțimea , iar domeniul valorilor este spațiul constând din submulțimi compacte nevide ale mulțimii , i.e.










- Exemplul 1. Fie . Atribuind un segment fiecărei valori , obținem o mapare cu mai multe valori


![{\displaystyle [-|x|,\,|x|],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9e49698ce5ce9c2fa313936378c3ecb265b287)

- Exemplul 2. Fie o funcție continuă. Punând și atribuind fiecărei valori o mulțime, obținem o mapare cu mai multe valori
![{\displaystyle f:[0,1]\la \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de6d0d4c98d4ca7ad937c772dc3e3e914b062f5)
![{\displaystyle X=[\min f,+\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83d5f574f03e84662bb41dd257624f3e549f489f)
![{\displaystyle Y=[0,1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced91ca92ca3d05fdd7a42ace0a36eee390abc34)

![{\displaystyle M(x)=\{y\in [0,1]:f(y)\leq x\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc6a92eb5a27cd37f5c19277f482b5fea5a93883)

Mapările cu mai multe valori își găsesc aplicații în diverse domenii ale matematicii: analiză neregulată și convexă, teoria ecuațiilor diferențiale, teoria controlului , teoria jocurilor și economia matematică .
Definiții și proprietăți înrudite
- Spațiul este metric cu metrica Hausdorff . Acest lucru ne permite să introducem noțiunea de mapare continuă cu valori setate.

- Considerând pentru fiecare funcția suport a mulțimii, obținem o funcție cu valoare reală a două argumente: și , unde asteriscul înseamnă spațiul dual .




- O mapare cu valori setate este continuă dacă și numai dacă funcția sa de suport este variabilă-continuă pentru fiecare fix .




- Se spune că o mapare cu mai multe valori este măsurabilă dacă funcția sa de suport este măsurabilă în raport cu variabila pentru fiecare fix .


- O ramură neechivocă sau un selector de mapare cu mai multe valori este o funcție astfel încât pentru oricare




- Lema lui Filippov : Fiecare mapare măsurabilă cu valori setate are un selector măsurabil. Lema lui Filippov are numeroase aplicații. În special, permite stabilirea existenței unui control optim pentru o clasă largă de probleme din teoria sistemelor controlate .
- O mapare cu valori de set se numește semicontinuă superioară (prin includere) la un punct dacă pentru orice vecinătate a mulțimii (notat cu ) există o astfel de vecinătate a punctului (să o notăm cu ) încât pentru orice mapare cu valori de set este numită semicontinuă superioară (prin includere) dacă este semicontinuă superioară în fiecare punct O mapare continuă multivalorică (definită de metrica Hausdorff) este semicontinuă superioară.










- Teorema lui Kakutani : Fie o submulțime nevidă, compactă, convexă și o mapare cu valori multimecare are ca valori seturi compacte, convexe și este semicontinuă superioară prin includere. Apoi mapareaare un punct fix, adicăteorema lui Kakutani are numeroase aplicații în teoria jocurilor . În special, poate fi folosit pentru a demonstra cu ușurință un rezultat fundamental al teoriei jocurilor, teorema Nash privind existența unui echilibru într-un joc necooperativ.




Vezi și
Literatură
- Borisovich Yu. G., Gelman B. D., Myshkis A. D., Obukhovskiy V. V. Introducere în teoria mapărilor multivalorice și incluziunilor diferențiale, — Orice ediție.
- Blagodatskikh V. I. Introducere în controlul optim, Școala Superioară, Moscova, 2001.
- Blagodatskikh V. I., Filippov A. F. Incluziuni diferențiale și control optim , — Tr. MIAN, vol. 169 (1985).
- Ioffe A. D., Tikhomirov V. M. Teoria problemelor extreme, Fizmatlit, Moscova, 1974.
- Pshenichny B. N. Analiză convexă și probleme extreme, Nauka, Moscova, 1980.
- Vorobyov N. N. Fundamentele teoriei jocurilor. Jocuri non-cooperative, Nauka, Moscova, 1984.